Enoncé D653 (Diophante) Tangente à une ellipse
Soit une ellipse (E) dont on ne connaît que la courbe. D’un point O extérieur à (E), on a tracé les deux tangentes à cette ellipse.
Construire à la règle et au compas une tangente à (E) en un point quelconqueM de (E).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Construction
Soient P etQ les points de contact avec (E) des deux tangentes.
La parallèle menée deM àOQcoupeOP enU; la parallèle menée de M à OP coupe OQen V; la parallèle menée de O à la droite U V coupe la droite P Qen W.
La droiteW M est la tangente cherchée.
Justification
A un point quelconque N du plan j’associe les coefficients (x, y) (coordonnées obliques) de la décomposition vectorielle
ON =x.OP +y.OQ.
Soient (u, v) les coordonnées obliques du point M donné (hors des droites OP, OQ, P Q), d’où découlent celles de U(u,0) et de V(0, v). Les droites P QetU V ont pour équations respectives x+y= 1 etx/u+y/v= 1.
La conique (E) (peu importe son genre) appartient au faisceau défini par les deux coniques dégénéréesP Q(droite prise deux fois) et OP +OQ (couple de droites). Son équation en coordonnées obliques est de la forme (x+y−1)2+mxy= 0. La valeur de m découle de la donnée deM :m=−(u+v−1)2/(uv).
Pour obtenir la tangente enM, je différencie l’équation : 2(x+y−1)(dx+dy) +m(ydx+xdy) = 0,
puis je remplace (x, y) par (u, v) et (dx, dy) par (X−u, Y −v) où (X, Y) est le point courant de cette tangente, ce qui donne 2(u+v−1)(X+Y −u−v) +m(vX+uY −2uv) = 0, puis 2(u+v−1)(X+Y−1)+muv(X/u+Y /v) = 2(u+v−1)2+2muv= 0 du fait de la valeur dem.
L’intersection W de la tangente avec P Q vérifie X +Y = 1 et X/u+Y /v= 0 caruv(1−u−v)6= 0. La conditionX/u+Y /v = 0 est l’équation de la parallèle menée parO à U V.
