Définition bifocale d’une ellipse

Définition bifocale d’une ellipse

Dans tout ce qui suit, on se place dans R², muni de sa structure euclidienne canonique, et on considère l’ellipseE d’équation cartésienne

x² a² +y²

b² = 1,

où a(le demi grand axe) etb(le demi petit axe) sont deux réels tels que0< b < a.

On pose classiquement c=√

a²−b²,F = (c,0)etF^′ = (−c,0).

F etF^′ sontles foyers de E. On a alors, en notant AB la distance entre deux points, E = M ∈R² / F M+F^′M = 2a .

Cette définition deEjustifiela méthode du jardinierpour tracer au sol le contour d’un massif elliptique :

•prendre deux piquets reliés par une corde de longueur2a

•planter lesdits piquets en deux points distincts F etF^′ tels que F F^′<2a

•tendre la corde à l’aide d’un bâton tenu vertical et tracer l’ellipse avec la pointe dudit bâton, tout en maintenant la corde tendue (la pointe du bâton prendra les diverses positions M telles que F M+F^′M = 2a).

En choisissantF =F^′ on obtient une méthode déjà connue pour tracer un cercle de rayona!!

Le résultat se démontre rapidement moyennant quelques (habiles) équivalences.

Soit M = (x, y) :

F M+F^′M = 2a ⇔ F M+F^′M ² = 4a²

⇔ (x−c)²+y²+ (x+c)²+y²+ 2 (x²+y²+c²−2cx) (x²+y²+c²+ 2cx) = 4a²

⇔ (x²+y²+c²)²−4c²x²= 2a²− x²+y²+c²

⇔ x²+y²+c^{2 2}−4c²x² = 4a⁴−4a² x²+y²+c² + x²+y²+c^{2 2}

⇔ a² x²+y²+c² −c²x²=a⁴

⇔ b²x²+a²y² =a²b²

⇔ x² a² +y²

b² = 1 !!

On peut compléter ce résultat par une propriété géométrique classique : pour M ∈ E, la tangente à E enM est la bissectrice extérieure des demi-droites [MF) et[MF^′).

Définition bifocale d’une ellipse Page 2 Quelques définitions s’imposent ; étant donnés un point M et deux vecteurs unitaires u et u^′, on appelle

•bissectrice intérieure des demi-droites d’origine M dirigées par u et u^′ la demi-droite d’origine M dirigée paru+u^′

•bissectrice extérieure des demi-droites d’origine M dirigées par uet u^′ la droite d’origineM dirigée paru−u^′ (donc orthogonale à la précédente, puisque u etu^′ sont unitaires).

Noter que la bissectrice intérieure est celle du collège, qui sépare le secteur angulaire formé par les deux demi-droite en deux secteurs angulaires de même mesure. Il s’agit même de mesures orientées modulo 2π. En effet, en notant (·|·) le produit scalaire canonique et[·,·]le produit mixte, j’ai, du fait queu et u^′ sont unitaires,

u|u+u^′ = 1 + u|u^′ = u+u^′|u^′

et, du fait du caractère alterné du produit mixte (qui est un déterminant !), u|u+u^′ = u|u^′ = u+u^′|u^′ .

Par conséquent les deux angles orientés, deuavecu+u^′ d’une part, deu+u^′ avecu^′ d’autre part, sont égaux (modulo2π). C’est bien l’idée de bissectrice habituelle. . . Le géomètre avisé aura remarqué que MNP N^′ est un losange, où N =M +u,N^′ =M +u^′ etP =M+ (u+u^′).

Quant à la bissectrice extérieure définie ci-dessus, nous venons de voir (en remplaçant u^′ par−u^′) que la demi-droite d’origine M dirigée par u−u^′ est la bissectrice intérieure des demi-droites d’origine M dirigées par u et−u^′.

On dit aussi que les deux droites orthogonales M+ Vect (u±u^′) sont les deux bissectrices des droites D=M+ Vectu et D^′ =M + Vectu^′ (elles jouent des rôles identiques dans ce cas).

Autre propriété dans ce contexte : l’union de ces deux bissectrices est l’ensemble des points équidistants de D et D^′. En effet, pour P fixé, le projeté orthogonal H de P sur D est caractérisé par

−−→MH = −−→MP|u .u, d’où MH² = −−→MP|u ², puisque u est unitaire. De même le projeté orthogo- nal H^′ de P surD^′ vérifie MH^′2= −−→MP|u^{′ 2}. Or les deux trianglesMHP etMH^′P sont rectangles, avec pour hypoténuse commune MP.

Définition bifocale d’une ellipse Page 3 Le théorème de Pythagore montre alors que P est équidistant de D et D^′ (i.e. P H = P H^′) si et seulement si MH =MH^′, or

−−→MP|u ² = −−→MP|u^{′ 2} ⇔ −−→MP|u ²− −−→MP|u^{′ 2}= 0

⇔ −−→

MP|u+u^′ × −−→

MP|u−u^′ = 0 grâce à une identité remarquable bien connue et par linéarité à droite du produit scalaire.

Ainsi P est équidistant de DetD^′ si et seulement si −−→MP est orthogonal àu+u^′ ou à u−u^′. On retrouve bien la réunion des deux bissectrices définies ci-dessus !

Revenons maintenant à notre ellipse, que je choisis de paramétrer parM :t→(acost, bsint).

M est C^∞ surRpar les théorèmes opératoires classiques et

∀t∈R M^′(t) = (−asint, bcost).

Ce vecteur n’est jamais nul, donc tous les points sont réguliers etM^′(t)dirige la tangente àE enM(t).

Or, d’après la définition bifocale de E, j’ai

∀t∈R −−−−→

F M(t) ²+ −−−−−→

F^′M(t) ² = 2a.

NiF niF^′ n’appartient àE, donc je peux dériver ces expressions selon les formules usuelles, en remar- quant que, F étant indépendant de t,

d dt

−−−−→

F M(t) = d

dt(M(t)−F) =M^′(t) et de même d dt

−−−−−→

F^′M(t) =M^′(t). J’obtiens

1 F M(t)

−−−−→

F M(t) M^′(t) + 1 F^′M(t)

−−−−−→

F^′M(t) M^′(t) = 0 soit

− u+u^′ M^′(t) = 0 où u= 1

M(t)F.−−−−−→

M(t)F et u^′ = 1

M(t)F^′.−−−−−→

M(t)F^′.

u est le vecteur unitaire dirigeant la demi-droite [M(t)F) et u^′ le vecteur unitaire dirigeant la demi- droite [M(t)F^′), donc d’après ce qui précède M^′(t) dirige la bissectrice extérieure de ces deux demi- droites !

Cette propriété peut sans doute se démontrer de façon plus analytique (et péniblement. . . ) en utilisant l’équation cartésienne de la tangente àE enM vue au chapitre 12, mais la version cinématique ci-dessus est “trop belle” !