Coniques : d´ efinition bifocale
Ellipse : d´ efinition bifocale
SoitR= (0;i, j) un rep`ere orthonorm´e. NotonsE l’ellipse d’´equation x2 a2 +y2
b2 dans le rep`ereR. Nous montrons queE est exactement l’ensemble des pointsM(x, y) v´erifiantM F+M F′= 2a, o`uF etF′ sont les foyers deE. Notonsc=√
a2−b2; les foyers de E sont les pointsF(c,0) etF′(−c,0).
Nous avons :
M F +M F′ = 2a ⇐⇒ (M F+M F′)2= 4a2
⇐⇒ (x−c)2+y2+ (x+c)2+y2+ 2M F·M F′= 4a2
⇐⇒ 2x2+ 2y2+ 2c2+ 2M F·M F′ = 4a2
⇐⇒ M F·M F′= 2a2−c2−x2−y2
⇒ (M F·M F′)2= (a2+b2−x2−y2)2
⇐⇒ (x2−2cx+c2+y2)·(x2+ 2cx+c2+y2) = (a2+b2−x2−y2)2
⇐⇒ (x2+y2+c2)2−4c2x2= (a2+b2−x2−y2)2
⇐⇒ (x2+y2+c2)2−(a2+b2−x2−y2)2= 4c2x2
⇐⇒ (a2+b2+c2)·(2x2+ 2y2+c2−a2−b2) = 4c2x2
⇐⇒ 2a2·2(x2+y2−b2) = 4c2x2
⇐⇒ a2x2+a2y2−a2b2=c2x2 ⇐⇒ (a2−c2)x2+a2y2=a2b2
⇐⇒ b2x2+a2y2=a2b2 ⇐⇒ x2 a2 +y2
b2 = 1
Il reste `a prouver que l’implication de la cinqui`eme ligne est en fait une ´equivalence. Observons que, `a la derni`ere ligne,x26a2 ety26b2; donc la quantit´ea2+b2−x2−y2 est positive, ce qui termine la preuve.
M´ethode du jardinier : on plante un piquet en chacun des foyers. On les relie par une corde de longueur 2a. On utilise un troisi`eme piquet pour tendre la corde ; en faisant glisser ce piquet le long de la corde, on trace une demi-ellipse.
La m´ ethode de la bande de papier
Les deux triangles sont proportionnels. Ceci nous donne les relations x
a = X
a+b et Y −y
a = Y
a+b, dont nous d´eduisons aX = (a+b)xetbY = (a+b)y. Avec le th´eor`eme de Pythagore, il vient x2
a2 +y2
b2 = X2 (a+b)2 + Y2
(a+b)2 = 1.
HH HH
HH HH
H HH
HH HH
HH HH
H Y
y
x X
M
Ellipse : formulaire
a est le demi-grand axe ; b est le demi-petit axe ; c est la demi-distance des foyers ; on a a2 = b2+ c2; l’excentricit´e est c/a; les directrices ont pour
´equations x=±a2/c. Le tableau ci-contre pr´esente deux param´etrages.
x=acos(t) y=bsin(t) 06t <2π x=a1−u2
1 +u2 y= 2bu
1 +u2 |u|< π/2 Interpr´etation du param`etret: soitM(x, y)∈ E, de param`etret; le pointM′(x, ay/b) est sur le cercleprincipal de l’ellipse ; test l’angle entre les vecteur ietOM′.
L’aire de l’ellipse estπab. La longueur de l’ellipse ne peut pas ˆetre exprim´ee simplement en fonction deaet b; elle est donn´ee par la s´erie
2πa µ
1−³1 2
´2
e2−³1·3 2·4
´2e4
3 −³1·3·5 2·4·6
´2e6 5 − · · ·
¶
Hyperbole : d´ efinition bifocale
Soit R = (0;i, j) un rep`ere orthonorm´e. Notons H l’hyperbole d’´equation x2 a2 − y2
b2 dans le rep`ere R. Nous montrons queHest exactement l’ensemble des pointsM(x, y) qui v´erifient|M F−M F′|= 2a, o`uF etF′ sont les foyers deH.
Notonsc=√
a2+b2; les foyers de Hsont les pointsF(c,0) etF′(−c,0).
Nous avons :
|M F−M F′|= 2a ⇐⇒ (M F−M F′)2= 4a2
⇐⇒ (x−c)2+y2+ (x+c)2+y2−2M F·M F′= 4a2
⇐⇒ 2x2+ 2y2+ 2c2−2M F ·M F′= 4a2
⇐⇒ M F·M F′=c2−2a2+x2+y2
⇒ (M F·M F′)2= (c2−2a2+x2+y2)2
⇐⇒ (x2−2cx+c2+y2)·(x2+ 2cx+c2+y2) = (c2−2a2+x2+y2)2
⇐⇒ (x2+y2+c2)2−4c2x2= (c2−2a2+x2+y2)2
⇐⇒ (x2+y2+c2)2−(c2−2a2+x2+y2)2= 4c2x2
⇐⇒ 2a2·(2x2+ 2y2+ 2c2−2a2) = 4c2x2
⇐⇒ a2·(x2+y2+b2) =c2x2 ⇐⇒ (a2−c2)x2+a2y2=−a2b2
⇐⇒ b2x2−a2y2=a2b2 ⇐⇒ x2 a2 −y2
b2 = 1
Il reste `a prouver que l’implication de la cinqui`eme ligne est en fait une ´equivalence. Observons que, dans la quantit´ec2−2a2+x2+y2,c2 et x2 majorenta2; donc cette quantit´e est positive, ce qui termine la preuve.
Hyperbole : formulaire
aest le demi-grand axe ; best le demi-petit axe ; cest la demi-distance des foyers ; on ac2=a2+b2; l’excentricit´e estc/a; les directrices ont pour ´equationsx=±a2/c. Les asymptotes ont pour ´equation ay = ±bx. Une hyperbole est´equilat`ere si ses asymptotes sont orthogonales ; ceci se produit lorsquea =b; dans ce cas, l’excentricit´e est √
2.
Le tableau ci-contre pr´esente trois param´etrages.
x=ach(t) y=bsh(t) t∈R x=aw2+ 1
2w y=bw2−1
2w w >0 x= a
cos(u) y=btan(u) |t|< π/2 x=a1 +v2
1−v2 y= 2bv
1−v2 |v|<1
Equations des directrices dans le rep` ´ ere canonique
Pour l’ellipse : OA=a,OF =c, AF AΩ c
a; doncAΩ = a
cAF = a(a−c)
c , puisOΩ =OA+AΩ =a+a(a−c)
c =
a2 c .
Pour l’hyperbole : cette fois,OΩ =OA−AΩ =a−a(c−a) c =a2
c .
FIN
[Coniques] Version du 20 f´evrier 2009
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