Leçon 28 : Ellipse Définition

l.

Leçon 28 : Ellipse Définition

Soit

r et F'

deux points

et o

^le milieu

d. [rr'].

Onnote OF:OF=c.

Soit a

un

nombre réel strictement positif.

Si a >

c,

I'ensemble des

ponts M

duplan

tels

que MF +

MF=2a

est appelé

ellipse

de foyers

F et

F' ^.

Eléments caractéristiqu es

. sommets

:

^A,

A', B et

B' .

foyers : ^F

^{et F,}

. centre

:

^O

. grand axe ou axe

focal :

^(AA')

.

petit

axe

:

^{(^BB')}

.

directrices;

_{D et} D'

2. Equation d'une

ellipse de

centre

O(0,0)

F

^Cas

I'axe focal

est I'axe (Ox) ,

(",

b) Théorème

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O;1

,h

^.

L'ellipse de centre o, de

foyers

F(c,o) er F'1-c,0y , définie ^par la relation MF +

MF':2a

_tadmet pour équation la

relation t

^-

4 ^:

^,

o2

^b2

avec

c=J;' _-b'

^.

I 1. Sections coniques _| 290

Eléments caractéristiques

. sommets

:

^A@,A\,

A'(-a,0),

_^B(0,â)

et A'(O,-b)

.

foyers I

F(c,o)

et

^F'(-c ,O) . centre

:

^o(0,0)

. grand axe ou axe

focal I

^y

₌₀ ,directrices: D:x=!.o

c .

excentricité: ,=9.1

a

v

Théorème

Le plan est rapporté au repère orthononné

Q;î ,j).

L'ellipse de

centrs o,

de

foyers

F(0,c) et

r''(0,-r),

définie par la relation MF + IvF'= 2b

,

aidmetpour équation la

relation 4

^-

4

^{= t}

o2

^bz

(a <b) àYac

c:

a

CI

Fu

t

x

D' D

b

Éléments caractéristiques

.

sommets:

_{A(a,O\ ,}

A'(-a,O),

B(O,b)

et

A'(O,-b) . foyers

;

^F(o,c)

et

^F'(O,-c)

. centre

:

^o(0,0)

. grand axe ou axe

focal I x=0 ..,

.

directrices:

D,

y:*!'

c

. excentri cité

:

^e

:9 .1

.

b

Exemple

I

^: Déterminer l'équation d'irne ellipse de foyer

r(+,o),

F'(- ⁴

,0)

^{et de MF + MF}

: _l0

puis tracer sa courbe représentative.

Solution

Soit

u(x,y),

un point de cette ellipse, d'après MF + MF

=10,

G-qY *(y-of *Jk ^+af +(y-of :ro JG-ry +y'+JÇ*a)'4

=1s

JG-ry ^{+y' =ro-} JG.4Y ^+y'

Elever au carré les deux membres, on obtient ^:

G-qY +y'=loo- 2oJG*4Y *y'

+(x+ 4)' *

y'

zollQ+41 +!2 =too+('+

^4Y

*y'-("- a')-y'

20

(x+af *y'=l0o+

x2-+8x+16+y2

-xt ^+8x-16-y2 z}lQ+4f

⁺ _!2

:roo+r6x

sJ(x+ 4T *

y'

₌₂₅₊ 4x

Élever au carré les deux membres, on obiient ^:

l, \i "l

25(x +

4l

^{+ y'}

_l=

625 + 2O0x +16x2

/ ^

^\

25\r'+Sxi

^{16+ y2} ):6ZS+200x+16x2

25x2 + 200x +400 + 25 yz = ^{625 + 200x +} l6xz

9x'

+25Y2 =225

On

divise

les deux membres

par

225,

,2 ^,r2

on

obtient:1-+l=l 25

¹⁶

c'est

l'équation d'une ellipse de

a=5 et b:3

I

l.

Sections coniques ₁₂₉₂

Exemple

2

: Donner les éléments caractéristiques d'une ellipse

d'équation

9x2 +4yz

:36

puis tracer sa coulbe représentative.

Solution

On a

:

^9x2

+4y'=36

On

divise

les deux membres de l'équation

par

36, on obtient :

-2 ^,r2

1+ 49r ^{/^}

⁼

^I

^c'est l'équation d'une ellipse

de a:2,

^b =3 ^et

"=Jb'-a' =Jg-=Ja

Cette ellipse a pour :

-

axe focal

:

^{Â r}

x:0

^:

- centre : o(o,o) -

foyer: r(o,Js) .t

"(0,-6)

-

sommet

:

^a(o

_J), n(0,-3) et

,eQ,o),

,t(-z,o)

-directrice: D:y=19=

;' s

- excentricité

:'

e

=!2

3

3. Equation

d'une ellipse de centre (ft,k)

P Cas a>b

Remplac€r

x

pâr

x-h ^et y par y-lcdans l'équation 4.*--t _o-

_D-

on

obtient, ry*Q{:t

I

Éléments caractéristiques

.

sommets: A(a+h,k), A'(-a+h,k'5, B(h,b+k) a B'(h,-b-k)

.foyersi F(c+h,k) et ^F'(-c+h,k)

. centre

:

^(h,k)

. grand iD(e ou axe

focal

I

A:y=lç

.directriees: D.'=xL*h

c

Cas

a<b

Remplacer.r

^par

x-h et y par y-Édans

l'équation

l'équation

a de la

forme , ry*ff:r

Éléments

caractéristiques

.

sommets; A(a+h,k), A'(-a+h,k), B(h,b+k) et B'(h,-b-k)

. foyers

:

^{F(h,c + k's}

et r'(h,-c

+ k) . centre

: e,k)

. grand axe ou axe

focal : L:x=h

.

directrices: D: _'c v=tt*t

I

l.

Sections coniques ₁₂₉₄

k

/tr

l.'

I

E

D

M

A

[t

Y

rÂ

t

Exemple : Déterminer le centre, les sommets et les foyers

d'une

ellipse

d'équation C+*

^0-.3)Ê

_=,.

169

'

^Solution

D'après

l'équation

# ^.ry=1,

^on

^{a: h=5, k=3, a:4}

^et

à=3 donc c=Jl6-9:Jl

^.

On obtient donc :

sommets

: A(9,3),

A'(l',3),

8(5,6) et B'(5,0)

_,

,

foyers:

^,F(5

*Ji,z') a r,(S-Ji ,l)

centre

:

^(5,3)

4.

^Cas

général

L'équation

d'une ellipse est de la forme :

Ax2

+By'+Cx+Dy+E =0,

^{avec A er}

B

sont deux réels de même

signe. '

_'

Remarque

On

vérifie

que l'équation de la forme ,4x2 +

By'*Cx+

Dy+

E:0,

A et B

sont deux réels de même signe

n'est

^pas toujours

l'équation

de

I'ellipse.

D'

Exemple:

Soitune

équation 9x2

+4y' -l8x-t6y+61:o.

On a

:

9xz +

4y' -l8x-

^{l6y +61 = 0}

e9

^(x2

_-

^2x

+l)

+ 4(y2 - ^{4y + 4) +}

6l-9-

¹⁶ = ⁰

e9(x-l)'

^{+ 4(y}

_-2)'

_{= -36}

L'équation

9(x-l)t+ 4(y-2)':-36 n'aaucunevaleurde x

^et

y,car

le carré d'un nombre est toujours

positif.

Donc

9x2 +4y2

-l8r-l6y+61=0 ^n'estpas

l'équation

d'une

ellipse.

Exercices

l.

^Soit ./l/(x,y), un

point

de I'ellipse de foyers

F

^et

F' tel

que

a(u

_,

r)+ a(u,

È') =

" ^.

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'équation de l'ellipse.

a. r(:;o), r"(-:;o)

et s=8

b. n(t;o), F'(-+;o) et s:12

c. r(o;z),

F'(o;

-

^{2) et s = 6}

2.

Déterminer

l'équation

d'une ellipse de sommets

S(-5,0) et

S(s,O).

3.

Déterminer les foyers, les sommets et tracer la courbe représentative de chacune des ellipses suivantes.

a. t*t=, _{b. "} *Y' :r c. t*t-=,

36410025425

d.

^{25x2 +16y2}

:40o _e.

l6x2 +36y2 =576

4.

Déterminer

l'équation

d'une ellipse de sommets

(t+,0) et

(*3,0), un des deux foyers

n(z,o).

5.

Dans chaôun des cas suivants,

trouver

MF +MF' 'tel que

M

est un

point

d'une ellipse de foyers

F et F'

^.

a.

^9x2

+25y2225 b.

^{4x2 +9y2}

:36 _{c. y'} :360-r')

d. _-5

^y2

=16-'-

_2

e.

^6x2 _{+4vz =25}

ll.

Sections coniques ₁₂₉₆

6.

Trouver ^les éléments caractéristiques de ^{chacune des} ellipses suivantes puis tracer la ^courbe représentative ^dans un repère orthonorme

(o,i,i).

G-aY ^y'

a. ^:-- .:-+ r-: l

^b

.

^7x2

+2(y-3)t

=

l

^c'

364

x2 +2v2

-2x+'4y-13:o

d.. x'+2y'+4x-4y-10=0 ^{é. 2x'+y2 +8x+4y+6:0}

7.

Déterminer

l'équation

d'une ellipse de centre ^(O,O),

d'axe focal (Ox)

_.

et passant par les

points b,A)

^{et Çle}

,z)'- ^:

8.

Déterminer led

foyers F

^et

^F'

d'une ellipse ^d'équatio

" #**=r.

9. Soit r(x,y)

un

point

de l'ellipse d'équation

9x2 +25y2

-t8x+100y-166=0

^{et de foyers F}

^, F'

^.

Calculer

^PF+PF' 10. Détern\iner les

foyers F

^et

^F'

^d'une ellipse d'équation

(' - 36 ^r)' *0 ^*rY

²⁰

=,

^.