D1885. La balle au centre

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D1885. La balle au centre

M´ethode de construction deD, E,F : par le point arbitraireDi sur BC, on trace les perpendiculaires `a BM et CM qui coupent respectivement AC en Ei, et AB enFi, puis la perpendiculaire `a AM (soit EiFj) qui coupeDiFi

en X. Le lieu de X quand Di d´ecrit BC est la droite fixe CX. Son inter- section avecABdonne le pointF d´efinitif qu’il suffit de compl´eter avecDetE.

Rappel : N est l’orthocentre deDEF etOle milieu deM N.

SoientG,H,I les orthocentres deAEF,BF D,CDE.

Les c´eviennes AM, BM, CM et les hauteurs de DEF (DN, EN, F N) sont, deux par deux, sym´etriques par rapport `aO, par exemple AM et DN.

On a aussi DI kF G, EGkDH et F H kEI.

L’hexagone DIEGF H a ses cˆot´es oppos´es parall`eles. Il a donc un centre de sym´etrie qui est confondu avecOpuisqu’il est le point de concours des parall`eles aux c´eviennes `a mi-distance entre les c´eviennes et les hauteurs deDEF. Les sym´etriques de D, E, F par rapport `a O sont donc les orthocentres des trianglesAEF,BF Det CDE.

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