Première S2 Exercices sur le chapitre 23 : E4. 2007 2008
E4 Propriétés des transformations.
P 278 n ° 28.
ABCD est un rectangle de centre O. C ' est le symétrique de C par rapport à D.
C " est le symétrique de C par rapport à B.
a. ABCD est un rectangle de centre O. Donc ÄCA = 2 ÄCO
Autrement dit : A est l'image de O par l'homothétie de centre C et de rapport 2.
b. C " est le symétrique de C par rapport à B. Donc ÄCC "= 2 ÄCB
Autrement dit : C " est l'image de B par l'homothétie de centre C et de rapport 2.
C ' est le symétrique de C par rapport à D. Donc ÄCC '= 2 ÄCD
Autrement dit : C ' est l'image de D par l'homothétie de centre C et de rapport 2.
c. ABCD est un rectangle de centre O. Donc O est le milieu du segment [ BD ].
Or les homothéties conservent le milieu. Donc A est le milieu de [ C' C" ].
P 279 n ° 30.
Soient O, A et B trois points trois points non alignés.
Soient A ' et A" deux points tels que ÄOA ' = A'A" = A"A a. h est l'homothétie de centre O qui transforme A en A '.
Or ÄOA ' = 1
3 ÄOA car ÄOA ' = A'A" = A"A donc ÄOA = ÄOA ' +A'A" + A"A = 3 ÄOA '.
Donc le rapport de cette homothétie est égal à 1 3 .
Soit I le point d'intersection de la parallèle à ( AB ) passant par A ' et de ( OB ).
D'après le théorème de Thalès, dans le triangle OAB, les points O, A', et A sont alignés dans cet ordre, les points O, I et B sont alignés dans le même ordre, et les droites ( IA' ) et ( AB ) sont parallèles.
Alors on a : ÄOI = 1 3 ÄOB . Donc h ( B ) = I.
b. h' est l'homothétie de centre O qui transforme A en A ".
Or ÄOA " = 2
3 ÄOA car ÄOA ' = A'A" = A"A donc ÄOA = ÄOA ' +A'A" + A"A = 3 ÄOA ' = 3 A'A"
3 ÄOA " = 3 ( ÄOA ' +A'A" ) = 6 ÄOA '. Donc 2 ÄOA = 6 ÄOA ' Donc le rapport de cette homothétie est égal à 2
3 . P 279 n ° 31.
Soit ABC un triangle. Soient I et J les milieux respectifs de [ AB ] et de [ AC ].
Soit H le point d'intersection des droites ( AG ) et ( BC ).
Soit h l'homothétie de centre A et de rapport 2.
Alors on a I milieu de [ AB ] se traduit vectoriellement par : ÄAB = 2 ÄAI autrement dit h ( I ) = B.
De même h ( J ) = C.
Or G est le barycentre de ( I ; 2 ) ; ( J ; 1 ).
Et h conserve le barycentre. Donc h ( G ) est barycentre de ( h ( I ) ; 2 ) ; ( h ( J ) ; 1 ).
Or G ∈ ( IJ ) donc h ( G ) ∈ ( BC ) et A, G, et h ( G ) sont alignés.
Donc h ( G ) = H. d'où H est le barycentre de ( B ; 2 ) ; ( C ; 1 ).
