Géométrie dans l'espace

Les polyèdres réguliers

Benjamin Barras

25 février 2002

Table des matières

Avertissement ii

1 Classification des polyèdres réguliers 1

1.1 Théorème d’Euler . . . 3

2 Tétraèdre régulier 4 2.1 Aire et volume . . . 6

2.2 Coordonnées . . . 6

2.3 Angles . . . 7

2.4 Dual . . . 8

3 Octaèdre régulier 10 3.1 Aire et volume . . . 11

3.2 Coordonnées . . . 12

3.3 Angles . . . 12

3.4 Polyèdre dual . . . 13

3.5 Une construction remarquable . . . 14

4 Hexaèdre régulier ou cube 17 4.1 Aire et volume . . . 18

4.2 Coordonnées . . . 18

4.3 Polyèdre dual . . . 19

5 Dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier 21 5.1 Coordonnées du dodécaèdre . . . 25

5.2 Aire et volume du dodécaèdre . . . 26

5.3 Angles du dodécaèdre . . . 27

5.4 Polyèdre dual du dodécaèdre . . . 28

5.5 Aire et volume de l’icosaèdre . . . 29

5.6 Angles de l’icosaèdre . . . 30

5.7 Polyèdre dual de l’icosaèdre . . . 31

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Avertissement

Le but de ce document, est de calculer quelques propriétés intéressantes des polyèdres réguliers. On trouve dans tout bon formulaire les formules des aires et des volumes concernant ces derniers, mais à ma connaissance on ne trouve pas de démonstrations concernant ces formules. J’ai donc pris soin de mettre un maximum de clarté et de détails dans les calculs et les démonstrations présentés dans ce document. De plus, j’ai fait grand usage de la géométrie d’Euclide, qui reste et restera la base de tout apprentissage en géométrie et qui fait encore et toujours honneur à l’esprit humain.

En faisant une rapide recherche sur le Web, on trouve également beaucoup de documents qui donnent les formules utiles pour les polyèdres réguliers. Mais beaucoup contiennent des erreurs grossières soit dans l’aire, soit dans le volume. J’ai pris soins de contrôler mes formules avec plusieurs sources différentes et de plus, les calculs sont souvent effectués de plusieurs manières différentes pour aboutir aux mêmes résultats.

J’en profite ici, pour remercier le Prof.Alain Robert (Université de Neuchâtel) qui est l’initiateur de ce document, rédigé le 26 octobre 1995 dans sa première version. Je dois bien avouer que ce document m’a donné beaucoup de travail, mais aussi beaucoup de satisfaction.

Benjamin Barras

web : icwww.epfl.ch/~barras mail : [email protected]

ii Benjamin Barras

Chapitre 1

Classification des polyèdres réguliers

Le mot polyèdre est formé de deux racines grecques : polus qui signifie nombreux et edra qui se traduit par face ou base.

Définition 1 Un polyèdre est un solide dont la frontière est formée de plans ou de portions de plan.

Les portions de plan qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre, sont les faces. Chaque face, étant limitée par intersections avec les faces voisines, est un polygone. Les côtés de ce polygone sont les arêtes du polyèdre. On appelle sommet d’un polyèdre tout sommet d’une quelconque de ses faces.

Définition 2 Un polyèdre est convexe si son intérieur est convexe, ou de manière équivalente, si le polyèdre est entièrement situé du même côté de chaque plan qui contient l’une de ses faces.

Définition 3 Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés, et tous les angles sont égaux.

Définition 4 Un polyèdre régulier est un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des polygones régu- liers et identiques. De plus, chacun de ses sommets possèdent le même nombre de faces et d’arêtes.

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Mais, la somme des angles groupés autour d’un sommet est plus petite que quatre angles droits, qui forment un plan.

Chacun d’eux eux est inférieur à

donc

d’où

Les nombres et sont tous deux au moins égaux à 3. Il en résulte que les seuls cas possibles sont

"!

!

#!

!

#!

%$

$&

!

Il reste encore à prouver qu’ils existent bel et bien. C’est ce qui va nous occuper durant les pages qui suivent.^'(

2 Benjamin Barras

1.1 Théorème d’Euler

Notons⁾ le nombre de faces,^* le nombre d’arêtes et⁺ le nombre de sommets. Alors pour tout polyèdre convexe, on a

) * +

,

Dans le cas des polyèdres réguliers, chaque face possède arêtes, de sorte que ⁾ est l’ensemble des arêtes des faces et comme chaque arête rencontre exactement deux faces, on a

)

-

*

et comme est le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet, et que chaque arête relie deux sommets, on a également

) +

A l’aide du théorème d’Euler, on obtient alors

*

*

*

.

et donc

/

*

et nous retrouvons l’inégalité du théorème précédent. Reprenons notre calcul,

) * +

.0

) )

)

)

d’où l’on tire

)

On peut maintenant entreprendre la classification des polyèdres réguliers.

Le tétraèdre (m,n) = (3,3)

)

123

1 , ^{* 4}

)

5

,1

, ^{+ 6}

)

7

!

L’ octaèdre (m,n) = (3,4)

)

82

1

,8 , ^*

, ⁺

.1

L’ hexaèdre (m,n) = (4,3) ou cube

)

12

8

,1

, ^*

, ⁺

!

.8

Chapitre 2

Tétraèdre régulier

On a calculé⁾ , et ^>! nous dit que notre polyèdre est formé de 4 triangles équilatéraux identiques. On a dessiné un tétraèdre (fig 2.1), il faut encore montrer que le tétraèdre régulier existe bel et bien.

Pour cela, commençons par étudier un triangle équilatéral (fig 2.2).

Dans ce triangle,^* est le côté,^? la hauteur.?@%?BA"C?DAA sont les médiatrices respectives des côtésEGFCHIEJKHLF .^? et^?BA 4

se coupent en un point^M , on a donc^{M0E MNF} et^{M0E M0H} puisque^? et^{? A} sont des médiatrices, ce qui entraîne

MNF M0H et prouve que^{? AA} passe bien par le point^M . Calculons la hauteur^? , Pythagore nous donne

?DO

* O *PO d’où ^?DO

!

*QO et ^{? SR}

!

*

Appelons^{T ?} le segment^HIM , Thalès nous donne alors

?* VU

O *

T ?

et donc ^{T ?DO 5 *QO} , ^{T !2}

* O D* O

!

C’est un résultat connu, qui nous dit que le point ^M se situe au 2/3 de la hauteur en partant depuis un sommet.

Maintenant, on tire une droite passant par le point^M et perpendiculaire au plan dans lequel se trouve le triangle. Soit

W

un point sur cette droite, comme^{M0E MNF M0H T ?} on aura bien sûr^E

W H W F W

. Il ne nous reste donc plus qu’a nous arranger pour que^{E W *} et l’on aura le tétraèdre régulier que l’on souhaitait. On calcule alors,

EXM

O M W O E W O * O et donc

M W O * O

Y

T ? O * O

- Z!2

* O

32

! * O

Appelons^[ le segment^{M W} , soit^{[ 7\}\ ^O] * ,^[ représente en fait la hauteur de la pyramide régulière que constitue notre tétraèdre régulier (fig 2.3).

La médiatrice de^{E W} passant par^{^} coupe^[ en un point^_ (fig 2.4),qui n’est rien d’autre que le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre. En effet, par construction on a^{_2E _0F _2H} et la médiatrice nous donne^{_2E _ W} . Thalès nous donne également,

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2.1 Aire et volume

L’aire totale sera l’aire d’une seule face multipliée par le nombre de faces, soit

H

g

base hauteur ^{g * ? g * R}

!2

*

R

!L

*QO

et comme ^*

R

R ! hb

, ^H

8

R !

=b

O

Pour le volume, on sait (voir annexes) que le volume d’une pyramide est ^U] base hauteur, soit

i 7

!

DH

[

7

!

jR

!2

* O

BR

*

R ! SR

* ]

ou

i eR

82h

R

!2

R !

=b ] 8

32

R ! Zb ]

2.2 Coordonnées

On va chercher les coordonnées des sommets^HXKEJCF

W

, dans la base canonique de^{b ]} , centrée en^_ . D’après nos calculs précédents, et pour l’orientation choisie, on a

W

k#9

9 b

lb-:#9

9 h

E

k

?

! 9 b!

,b.

R

! 9

!

car ^{b? eR}

!2

*

R

* R ! R

Pour les coordonnées de^F , il faut faire une rotation de ^<9nm du point^E . Faire tourner un point d’un angle

dans un plan, revient à multiplier ce point, vu comme nombre complexe dans ce même plan, par le nombre complexe

o

.p=qsrt .uv

+

w

+ w

. Or dans notre cas, on a

OCx

] et donc^{o ] lp;qOKx} . On doit donc trouver la bonne racine du polynôme^{y ] -9} . Comme^{y ] ky}

y O y

z

y M y

, z est donc racine de P(X), on trouve alors^{o U}

O

{w

R !

. On multiplie donc^{b. OZ|]\ O} par z, cela nous donne

F

.b,:}R

! R

R !

~

!

,b,}R

! R 1

!

~

!

H

.b,:}R

!

}R

R !

~

!

,b.:}R

!

}R

1

!

~

!

Ces valeurs vont nous permettre de démontrer très facilement, d’autres propriétés du tétraèdre régulier.

6 Benjamin Barras

2.3 Angles

On va calculer l’angle^{EG_ W} (fig 2.5), pour cela on connaît^{_ W} ,^_2E soit

_ W

.b,P#9

9 h

et ^{_2E ,b.}

R

! 9

~

!

on utilise alors la formule ^€Z‚

EG_

W _ W

C_2E

ƒ

_2E

ƒ ƒ _ W ƒ b O

:

U]

b.hb

~

!

ce qui nous donne^{EG_ WS„ 9:3 m <8 A 1 AA}.

La molécule de méthane est constituée de quatre atomes d’hydrogène placés aux sommets^HXKEt%F

W

et d’un atome de carbone placé en^_ . La mesure de l’angle^EG_

W

, est donc l’angle déterminé par deux liaisons de valence C-H de cette molécule. Soit^{E A} le point d’intersection des médiatrices du triangle^HLF

W

,^{EXE A} est donc la hauteur du tétraèdre et l’on a vu que^{_2E A d]} . Et donc,

soit ^,b,

R 9

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2.4 Dual

On a vu que^{_2E A > U] _2E} , traçons de même les points^{H AKE ACF A} qui se trouvent respectivement en ^{U] _2H} ,

U]

_0F , ^{U] _ W} (fig 2.6).

C’est une homothétie de centre ^_ et de rapport ^U] , ce qui nous donne un nouveau tétraèdre régulier de sommets

H ACE ACF A W A et d’arête^{* A ‰ˆ]} , ce dernier est appelé polyèdre dual. Et ce n’est pas terminé, soit^{^} le milieu du segment^F2H , et^Š le milieu du segment^EGF ,^‹ le milieu du segment^HIE . On a donc,

_0^ _0F

F2H (2.1)

b,:}R

! R 1

!

~

!

Zb-:#9

L

R 1

! 9

(2.2)

b,:}R

! 9 !

(2.3) On trouve de même,

_2‹

.b,P=R

1

}R

1

1 !

et ^{_2Š .b,:;R}

1 R 1

1

!

Soit^{_0^ A > _0^} , montrons alors que^{^ A} est le point se trouvant au milieu du segment^E

W

. En effet,

_0^ A _2E

E W

(2.4)

b.:

R

! 9

~

!

hb.

L

R

! 9 !

(2.5)

b.:=R

! 9

! >

_0^ (2.6)

8 Benjamin Barras

Cela nous donne,

Par Thalès, on a ^ŒŽ



‘…’”“•’

“ ’

et donc^{^ A‹ A ‹ A}

W ˆO

. Le polyèdre^{^ A‹ AŠ A}

W

possède 4 faces régulières et identiques, de plus chaque sommet possède 3 arêtes, ce n’est donc rien d’autre qu’un tétraèdre régulier, d’arête ^ˆ

O

. Il en est de même pour les polyèdres^{EXŠ–‹—^ AKŠF0^˜‹ A%^˜‹™HIŠ A} qui sont également des tétraèdres réguliers. Le polyèdre^{Š–^˜Š A^ A‹™‹ A} au centre, possède 8 faces régulières et identiques et chaque sommet possède 4 arêtes. C’est donc un octaèdre régulier, d’arête ^ˆ

O

. Son volume est donc

i A i i8 i ce qui nous donne

i A

eR

* ]

et si l’on pose^{* A ˆ}

O

donc^*

-

* A on obtient

i A šR

:"0

* A ] SR

!

:

* A ]

Ceci termine notre étude sur le tétraèdre régulier.

Chapitre 3

Octaèdre régulier

L’octaèdre régulier est composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Pour le construire, on commence par construire un carré de côté^* , soit

Le point^_ est le point d’intersection des deux diagonales, on a

HF O * O * O

.

* O donc ^{HLF R *} et ^{_2H 7 HLF *}

R

Sur la droite perpendiculaire au plan qui contient notre carré, et passant par^_ , on y ajoute deux sommets^›tKœ à une distance que l’on calcule comme suit,

_2H O

_2› O HL› O * O d’où l’on tire ^{_2› O * O * O * O} soit

_2›

*

R

_2H et pour^_2œ• on prend ^{_2œ _2›ž}

Notre polyèdre est bien composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Chaque sommet compte quatre arêtes et quatre faces, ce qui nous permet d’affirmer qu’il est bien régulier et termine ainsi notre construction.

10

3.1 Aire et volume

L’aire de l’octaèdre régulier est

H



* ?

,82@

* R

!2

*

-

R

!2

*QO

avec^? , hauteur du triangle équilatéral de côté^* que l’on a déjà calculé précédemment. Pour le volume,

i ,

!

base hauteur ^{,g! *PO {*}

R

eR

! * ]

Et bien sûr, notre octaèdre est inscrit dans une sphère de rayon^b dont le centre est le point^_ . Pour^b , on a

b˜

_2H _2›

*

R

L’aire et le volume en fonction de^b deviennent,

H R

!2Zb

O et

i 8!

Zb

]

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3.2 Coordonnées

Dans la base canonique de^{b ]} , centrée en^_ et pour notre choix, on obtient

H

k#b

9 9

, ^{E k#9 b 9}

, ^{F >Ÿb 9 9}

W >"9

Ÿb

9

, ^{› k#9 9 b}

, ^{œ #9 9 Ÿb}

Soit^{^} le point milieu du segment^HIE , cherchons alors un point^M sur le segment^{^˜›} tel que^_2M soit perpendiculaire à^{^˜›} . On a

^˜› _2›

_0^

>"9

9 b

#b

b 9

.b,

Z

_2M _0^

T

^˜›

7

#b

b 9 T

=b,:~

~

Z

a

Zb.

T Z

T 

T

_2M

^˜›

a

=b

O

T T

T

7

Zb

O

P#1

T

¡

.9

d’où ^{T !} et donc ^_2M

b!

P

Z:h

Le point^M est alors le point d’intersection des médiatrices du triangle^HIEX› .

ƒ

_2M

ƒ b

R ! *

R 1 ,f

est le rayon de la sphère inscrite centrée en^_ .

3.3 Angles

Calculons l’angle^{›X^˜œ} , et soit^{M A} la projection verticale de^M sur^HLEXœ , alors

€Z‚

›X^˜œ

MN_…C_2M A

ƒ

MN_

ƒ ƒ

_2M

Aƒ b O



U†

d£¢

]

>~

!

avec^{_2M A 6d] Z}

d’où^{›X^˜œ}

„

9:3 m <8

A 1 AA.

12 Benjamin Barras

3.4 Polyèdre dual

Prenons pour chaque face le point^{¤ A} intersection des médiatrices, on obtient ainsi huit points qui deviennent les huit sommets du polyèdre dual. On relie ces derniers selon la figure 3.3, on obtient alors un cube.

Vérifions que l’on a bien^{MN¥ M0M A}, soit

M0M A _2M A

_2M b!

:

Z

b!

P

:h:h

b!

#9

9 I

et

MN¥ _0¥

_2M b!

:ZZ

b!

:h:h

b!

:I

9 9

donc

ƒ

MN¥

ƒ ƒ

M0M Aƒ 

Par symétrie, on devait nécessairement avoir l’égalité.

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3.5 Une construction remarquable

Soit^{H A} un point qui part de^H et qui arrive en^E , et soit^{E A} un point qui part de^F et qui arrive en^E , et pour finir

› A un point qui part de^E et arrive en^› . Ces trois points partent en même temps et avancent à la même vitesse. Si l’on suit ces trois points, qui forment un triangle^{H AE A› A}, on sent bien intuitivement qu’il existe un lieu tel que^{H AE A› A} soit un triangle équilatéral.

Déterminons ce lieu,

HIE _2E

_2H >Ÿb

b 9

, ^{_2H A _2H T HIE ,b, T KT  9}

F2E _2E

_0F k#b

b 9

, ^{_2E A _0F T F2E ,b,PT T  9}

EX› _2›

_2E >"9

Ÿb

b

, ^{_2› A _2E T EX› ,b,"9 h T KT}

et donc

H AE A _2E

A

_2H

A

.b,P"

T

¡

9 9

et de même

H A› A .b,

T

:h

¦

T T

et l’on veut

ƒ H AE Aƒ ƒ H A› A ƒ ƒ E A› Aƒ

. Alors,

ƒ H AE Aƒ O

lb

O

"

T

¡

O ƒ H A› A ƒ O

lb

O

:§¨

T O

¦

T O T O©

nous donne^{T O 8 T ,1 T O 1 T} soit^{T O T l9} . Comme^{9«ª T ª} , on obtient

T

7



R $

Ce nombre est bien connu, car

;¬;T

.­® 7

P

R $

est le nombre d’or. Soit^{¯ A} tel que^{_2¯ A _2› T ›NH} , alors le triangle^{H A› A¯ A} est équilatéral, il suffit de faire une rotation du triangle^HIEX› autour de^M (point d’intersection des médiatrices du triangle^HLEX› ) pour s’en convaincre.

14 Benjamin Barras

Notre nouveau polyèdre comporte une face par face de l’octaèdre et une face par arête de l’octaèdre. On a ainsi vingt faces composées de triangles équilatéraux identiques. De plus, cinq arêtes et cinq faces se rencontrent en chaque sommet. On obtient alors un icosaèdre régulier. Nous avons pour les coordonnées de chaque sommet,

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Calculons l’aire et le volume de l’icosaèdre régulier. On a alors,

H AE A

.b,"

T

¡

9 9

donc

ƒ H AE Aƒ

,=b,

T * A

H

,<92

* A

jR

!2

* A

$ R

!2

* AO

Le volume est composé de 20 pyramides de hauteur

ƒ

_2M

ƒ

, avec

_2M b!

:

ZZ

et donc

ƒ

_2M

ƒ b

R ! on a alors

i ! H b

R !

! $ R

!2

* AO * A

R

!2=:

T $! * A]

!2

R $ $

P#!

R $

* A]

Le rayon de la sphère inscrite à l’icosaèdre est

f A ƒ

_2M

ƒ b

R !

R ! *QA

:

T

R ! *PA

!2

R $ eR

!2#!

R $

* A

et le rayon de la sphère circonscrite est,

b AO ƒ

_2H Aƒ O .b

O

K

T O T O * AO T O T O

T O

comme ^T

T O on a alors,

b AO 6*

AO

:

T O 4*

AO

­ O

6*

AO

=$

R $

et finalement ^{b A *A}

µ $ R $

16 Benjamin Barras

Chapitre 4

Hexaèdre régulier ou cube

Le cube est le polyèdre régulier qui nous est le plus familier, il compte 6 faces et sa construction ne demande pas grand commentaire.

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4.1 Aire et volume

Pour l’aire on a^{H ,12 * O} et le volume^{i * ]} . Le rayon de la sphère circonscrite est

b O

> * O

* O

* O ! * O

et donc

b- šR

!

*

Ce qui nous donne pour l’aire et le volume,

H

,82hb

O et ⁱ

8

!2

R ! Zb ]

Le rayon de la sphère inscrite est tout simplement

fN a

*

4.2 Coordonnées

Pour les coordonnées du cube, dans la base canonique de^{b ]} , et pour notre choix, on a

HNCEt%F

W *

:

UO U

O U O

* :

UO UO UO

/*

U

O UO UO

/*

UO U

O UO

›žKœ•C°«K[ *

:

UO U

O U

O

* :

UO UO UO /*

U

O UO UO

/*

UO U

O U

O

ou en fonction de^b , on aura par exemple^{H ¶d}\ ] P

Z:h

.

18 Benjamin Barras

4.3 Polyèdre dual

Plus intéressante est la construction de son dual. On place un sommet à chaque intersection des deux diagonales d’une face, et on relie ces sommets entre eux de la manière suivante,

Notre nouveau polyèdre possède huit faces toutes identiques, chaque sommet compte quatre faces et quatre arêtes, c’est donc un octaèdre régulier. Calculons les coordonnées du point^{M A}, intersection des médiatrices du triangle^{H AE A› A}. Avec^{H A * P U}

O 9 9

,^{E A * #9 U}

O 9

et^{› A * :#9 9 U}

O

cela nous donne,

_0^ A _2H A H AE A *

:

9 9 *

~

9 *

<

9

^ A› A *

:"9

9 *

:<

9 *

~

~

_2M A _0^ A

! ^ A› A *

:

9

! * :~

~

a

! * P<

On voit donc que^{_2MNA U] _2H} , cela signifie, que le point^MNA est sur la droite joignant^_ à^H , ce qui méritait quand même un calcul. De plus,

:#9 9 < 9 9

~ 9

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Calculons encore l’aire^{H A} et le volume

i A de nouveau polyèdre. Avec

ƒ ^ A› Aƒ * A

B\ ]

O

on obtient,

H A

82

h¸

*n+

pŸ

?D*P¹Dº p ¹

f2 ,82 * A * A

BR

!

.

R

!2

* AO

i A

g

!

h¸

*n+

pŸ

?D*P¹Dº p ¹

f2 .

! * AO

@

*

5

! * AO R

* A SR

! * A]

On peut également inscrire un tétraèdre régulier dans un cube, cela nous donne la figure suivante,

On se convainc très facilement que notre nouveau polyèdre est bien un tétraèdre régulier. On obtient également quatre tétraèdresHI›Nœ0[~CHIE…F2œ•KHLF

W

[~CF2œ0°0[

qui eux ne sont pas réguliers. On peut noter que les coordonnées d’un tétraèdre peuvent s’exprimer de manière très simple. Calculons le volume de notre tétraèdre régulier,

i AA * ] i

v¼»

HL›Nœ0[

* ]



!

D* O

*

5

! * ]

avec^{* AA R *} , cela nous donne

i AA 7

! * ] a

! * AA]

R eR

* AA]

Ce qui termine notre étude sur le cube.

20 Benjamin Barras

Chapitre 5

Dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier

Le dodécaèdre régulier est composé de douze pentagones réguliers et identiques, nous commencerons notre étude par un pentagone régulier.