D343 – Décomptes d’ébéniste amateur
Puce a confectionné un joli polyèdre convexe P₁ en noyer dont deux des faces sont identiques et parallèles entre elles. Zig scie délicatement une petite pointe à chaque sommet de P₁ sans que les découpes interfèrent entre elles. Il obtient un nouveau polyèdre P₂ dont il compte les sommets, les arêtes et les faces. L’un des trois entiers qu’il a calculés est égal à 23.
Q₁ Quel est le nombre d’arêtes de P₁ ? Q₂ Décrire un exemple simple de P₁.
Solution par Patrick Gordon
L'existence de deux faces identiques et parallèles entre elles suggère l'idée d'un prisme à base n-gonale.
Ce polyèdre a : F = n+2 faces A = 3n arêtes S = 2n sommets
On vérifie bien la relation d'Euler : F – A + S = 2.
Il n'a que des sommets d'ordre 3 (où se rejoignent 3 arêtes) et donc, quand on coupe un sommet comme indiqué dans l'énoncé, on ajoute :
S faces 3S arêtes 2S sommets.
En fonction de n donc, le nouveau polyèdre aura : F' = 3n+2 faces
A' = 9n arêtes S' = 6n sommets.
Ni A' ni S' (multiples de 3) ne peuvent être égaux à 23. En revanche, F' peut l'être, avec n = 7.
Une solution pour le polyèdre cherché P1 est donc un prisme à base heptagonale. Il a 21 arêtes.
L'énoncé ne demande pas d'établir l'unicité de la solution.
