D355- Six points dans l'espace
Peut-on avoir six points A, B, C, D, E et F dans l'espace tels que AB = CD = EF = 30, AC = BD
= 449, AD = BC = AE = BF = 450 et AF = BE = 451 ? Solution proposée par Jacques Guitonneau
Les longueurs données par l’énoncé sont celles de tous les côtés des deux tétraèdres ABCD et ABEF qui partagent entre eux l’arête AB.
Les longueurs données pour toutes ces arêtes sont compatibles pour construire le tétraèdre ABCD, puisqu’on peut construire dans le plan les quatre points ABCD avec les 5 longueurs AB, AC, AD, BC, BD. Puisque 449² + 30² =202501 > 450² les points C et D formeront un segment parallèle à AB et de longueur <30. On peut donc construire un tétraèdre en écartant (légèrement) les plans ABC et ABD autour de l’arête AB..
Par contre en ce qui concerne ABEF, la figure planaire avec les 5 longueurs AB, AE, AF, BE, BF, conduit à construire un segment EF parallèle à AB, mais puisque 450² + 30² =203400 <451² les angles BAE et ABF doivent être obtus et donc EF >30. On ne peut donc pas construire le tétraèdre en question.
