D355- Six points dans l'espace
Peut-on avoir six points A, B, C, D, E et F dans l'espace tels que AB = CD = EF = 30, AC = BD
= 449, AD = BC = AE = BF = 450 et AF = BE = 451 ? Tentative de solution par Patrick Gordon
On remarque que, sur les 15 segments, 4 sont de longueur libre : CE, CF, DE, DF.
Le problème se décompose donc en deux problèmes indépendants et de même nature. Si l'on trouve une solution pour chacun d'eux, il n'y aura plus qu'à les accoler selon AB.
Si l'on avait 450² = 449² + 30² ou 451² = 450² + 30², l'un ou l'autre des deux quadrilatères ci- dessus (côtés opposés deux à deux égaux et diagonales égales) serait un rectangle.
Il n'en est rien toutefois (il s'en faut de très peu!) et ces quadrilatères (s'ils existent) sont des
"rectangles gauches" que l'on pourrait obtenir en déformant des structures rigides homologues.
Simulons cette déformation par le calcul. Les angles du quadrilatère déformé sont projetés selon des angles droits pour préserver l'égalité des diagonales.
B et C sont réhaussés de h en B' et C'. Les angles de AB'C'D ne sont pas droits mais les longueurs de ses côtés sont inchangées, ce qui correspond bien à la déformation d'une structure rigide.
On voit que :
d² = AD² = B'C'² = b'² + c'² = b² + c² – 2h² D'où :
h² = (d² – b² – c²) / 2
Avec d = 451, b = 30 et c = 450 (quadrilatère ABEF), on trouve h² = 0,5.
Avec d = 450, b = 30 et c = 449 (quadrilatère ABCD), on trouve h² = – 0,5.
Aux termes de cette méthode, la réponse est qu'il n'est pas possible de trouver six points A, B, C, D, E et F dans l'espace avec les distances données.
