D355- Six points dans l'espace [*** à la main]
Peut-on avoir six points A,B,C,D,E et F dans l'espace tels que AB = CD = EF = 30, AC = BD = 449, AD = BC = AE = BF = 450 et AF = BE = 451?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Avec AB = CD = 30 , AD = BC = 450 et AC = BD = 449 , les 2 triangles ABC et BCD sont acutangles . Pour info √( 30² + 449²) = 450.0011111 .. > 450.
Sur le plan xOy ( d'équation z = 0 ) , on peut tracer le parallélogramme ABDC de petite diagonale BC = 450. Dans ce cas la grande diagonale AD > 450 .
Il suffit maintenant d'effectuer une rotation des 2 triangles DBC et ABC autour de la droite (BC) . Ces 2 points A & D ont même composante z > 0 .
Leurs projections A' et D' sur le plan xOy sont telles que le quadrilatère A' B D' C est un rectangle dont les 2 diagonales A'D' et BC mesurent 450 .
Alors A'D' = AD = BC = 450 . Le tétraèdre ABDC est construit et AB = CD = 30 , AD = BC = 450 et AC = BD = 449 .
Ce tétraèdre possède 4 faces identiques qui sont des triangles acutangles .
Il reste maintenant à construire les 2 points E et F .
Avec ces 5 données supplémentaires : EF = 30 , AE = BF = 450 et AF = BE = 451 , la donne est un peu différente . En effet les 4 triangles ABF , ABE , BEF & AEF sont identiques ; par contre ils sont
obtusangles . Pour info : √( 30² + 450² ) = 450.99889135... < 451 .
Les 2 points E et F , tout comme le tétraèdre ABEF , sont inconstructibles .
