Enonc´e D334 (Diophante) Un rangement hypoth´etique
(probl`eme propos´e par Michel Lafond)
Peut-on mettre un parall´el´epip`ede de dimensions 4×5×18 dans le cube de cˆot´e 15 ?
Solution
La r´eponse est positive.
Lemme
Soit `a placer un rectangle c×d dans un rectangle a×b. La CNS de posssibilit´e est
min(a, b)>min(c, d) et
a+b c+d
2
+
a−b c−d
2
≥2.
Preuve
On peut supposer a≥b,c≥d.
Supposant le placement fait, soit 0≤ϕ≤π/2 l’angle aigu des cˆot´es b et d. La plus grande des projections des diagonales du rectanglec×dsur le cˆot´ebvautdcosϕ+csinϕet son minimum estd. Une condition n´ecessaire est donc d≤b.
Si a≥c le placement peut se faire avec ϕ= 0. Sinon, on utilise au mieux la longueur aen faisant
a=ccosϕ+dsinϕ, projection d’une diagonale, et la projection de l’autre diagonale sur le cˆot´eb est
dcosϕ+csinϕ= 2acd+ (c2−d2)√
c2+d2−a2 c2+d2
d’o`u la condition
b(c2+d2)≥2acd+ (c2−d2)√
c2+d2−a2. Chassant le radical, on obtient
(a2+b2)(c2+d2)−4abcd≥(c2−d2)2
puis (a+b)2(c−d)2+ (a−b)2(c+d)2 ≥2(c2−d2)2 qui est la condition annonc´ee.
R´eciproquement, si la condition annonc´ee est satisfaite, son premier membre est fonction croissante de a, et il existe a0 ≤adonnant l’´egalit´e.
Le syst`eme
a0 =ccosϕ+dsinϕ,b=dcosϕ+csinϕ
fournit sic > a0 l’angle d’inscription dans un rectangle a0×b.
cosϕ= (a0c−bd)/(c2−d2), sinϕ= (bc−a0d)/(c2−d2).
Revenant au probl`eme pos´e, je fais co¨ıncider le plan m´edian du pa- rall´el´epip`ede parall`ele aux faces 4×18 avec un plan passant par deux arˆetes oppos´ees du cube, plan coupant celui-ci selon un rectangle P Q = RS= 15×15√
2.
Consid´erons les translations de 5/2 perpendiculaires `a ce plan amenant les faces 4×18 sur ce plan. Les faces translat´ees du cube coupent le plan m´edian selon un rectangle P0Q0R0S0 diff´erant de P QRS par deux bandes P QQ0P0 etRSS0R0 de 15×5/2.
Le parall´el´epip`ede peut ˆetre plac´e dans le cube si le rectangle 4×18 peut ˆetre plac´e dans le rectangleP0Q0R0S0 de dimension 15×(15√
2−5).
Le lemme fournit le crit`ere
0≤ 15√ 2 + 10 22
!2
+ 15√ 2−20 14
!2
−2 = 823,68−579√ 2 15,42 qui est satisfait, le membre de droite ayant le signe de
823,682−2·5792 = 7966,7424>0.
Le placement est donc possible, et le serait encore pour un cube d’arˆete
`= 14,935213, le crit`ere devenant (`√
2−5 +`)2/222+ (`√
2−5−`)2/142≥2.
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