Enoncé D355 (Diophante) Six points dans l’espace
Peut-on avoir six points A, B, C, D, E etF dans l’espace tels que AB = CD = EF = 30, AC = BD = 449, AD = BC = AE = BF = 450 et AF =BE= 451 ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La question appelle une réponse négative, E ou F étant incons- tructibles.
La projection de CD sur AB est la somme des distances de C et Dau plan médiateur deAB, soit
BC2−AC2
2×AB + AD2−BD2
2×AB = 4502−4492+ 4502−4492
60 = 899
30 d’où cos(AB, CD) = 899/900, ce qui définit l’angle (moins de 3°) des plans que AB et CD forment avec la droite joignant leurs milieux, qui est leur perpendiculaire commune.
La longueur de cette perpendiculaire commune est h=q(4492+ 4502−302)/2 =p100350,5 ;
en effet, en projection sur un plan parallèle à AB etCD, les pro- jections de A, B, C, D forment un quadrilatère de côtés deux à deux égaux (√
4492−h2 et √
4502−h2), donc parallélogramme, et à diagonales égales (30), donc rectangle, auquel s’applique Py- thagore.
Le tétraèdre ABCD est équifacial avec 4 faces égales au triangle de côtés 30, 449 et 450, qui est acutangle.
On obtient de même la projection deEF surAB BE2−AE2
2×AB +AF2−BF2
2×AB = 4512−4502+ 4512−4502
60 = 901
30 d’où cos(AB, EF) = 901/900, ce qui est impossible. Le triangle de côtés 30, 450 et 451, qui n’est pas acutangle, ne peut fournir les faces d’un tétraèdre équifacial.
