D366 – Les faces de même aire ont même air Solution proposée par Pierre Renfer
Soit p l’application associant à un point M de la droite (D) son projeté orthogonal M’ sur la droite (AB).
Soit H le milieu de [CD].
Comme p est une application affine, H’ est le milieu de [C’D’].
Comme les triangles ABC et ABD ont même aire, leurs hauteurs CC’ et DD’ sont égales Les triangles rectangles H’CC’ et H’DD’ sont isométriques.
Donc leurs hypoténuses H’C et H’D sont égales.
On en déduit que H et H’ appartiennent au plan médiateur de [CD].
Donc la droite (HH’) est perpendiculaire à la droite (CD) et elle est la perpendiculaire commune des droites (AB) et (CD).
Par échange des rôles de (AB) et (CD), on conclut que H’ est le milieu de [AB].
La symétrie d’axe (HH’) conserve le tétraèdre en échangeant A et B et en échangeant C et D.
On en déduit : AC=BD et AD=BC
On montre de façon analogue qu’il existe deux autres symétries axiales du tétraèdre : L’une échange A et C et échange B et D
L’autre échange A et D et échange B et C.
Les quatre faces du tétraèdre sont isométriques et : AB=CD et AC=BD et AD=BC
Remarque : le parallélépipède dans lequel s’inscrit le tétraèdre a des faces à diagonales égales.
Ces faces sont donc des rectangles et le parallélépipède est droit
