AC C C H E EC C ∫ C C CC C MATHÉMATIQUES I

(1)

MATHÉMATIQUES I

Notations et objectifs du problème

Pour toutes les questions géométriques on se place dans le plan muni de sa structure affine euclidienne canonique et de son repère orthonormé naturel. Le but de ce problème est d’étudier quelques caractéristiques du mouvement sur l’axe d’un mobile qui se trouve à l’origine au temps initial et au temps et dont la vitesse initiale est nulle.

• L’espace vectoriel des fonctions continues de dans est noté . Si est une famille finie d’éléments de , le sous-espace de qu’engendre est noté .

• La norme de la convergence uniforme sur est notée .

• On note le produit scalaire sur défini par :

L’orthogonalité entre éléments de est toujours relative à ce produit scalaire dont la norme associée est notée . L’orthogonal d’un sous-espace de est noté .

• On désigne par l’élément de défini par et par l’orthogonal de la droite .

• On appelle mouvement admissible toute application de classe de dans telle que :

On note le sous espace vectoriel de constitué des mouvements admissibles.

On établit d’abord des résultats préliminaires très proches du cours et utiles dans tout le problème. Dans la partie II on calcule la meilleure borne pour la moyenne quadratique de la vitesse en fonction de l’accélération. La partie I fait établir des résultats qui servent dans la fin de la partie II ; on peut admettre ces résultats pour traiter la partie II.

IR²

Ox O t = 0

t = 1

0 1

[ , ] IR

C

( )Φ

C C

( )Φ

Vect( )Φ

C

_∞

〈 〉

C

〈f g〉 f t( )g t( )dt

0

∫

1

=

C

₂

E C

E

^⊥

u

C

^{u t}( ) = 3 1( –t)

H

Vect u( )

ξ

C

² ^{[ , ]}^{0 1}

IR

ξ( )0 = ξ′( )0 = ξ( )1 = 0

A C

²(^{[ , ]}^{0 1}^,^IR)

(2)

Filière PSI

Dans tout le problème, on note, pour , et l’élément de défini par :

On pose, par ailleurs, , complémentaire de

dans .

Résultats préliminaires

A - Soit , . Justifier l’égalité

et montrer soigneusement que .

On note le projecteur orthogonal sur . Démontrer que, pour :

B -Montrer que l’application est un isomorphisme de sur dont l’isomorphisme réciproque est défini par

Partie I - Comportement asymptotique de racines d’équations

Pour , on considère les coefficients de Fourier en sinus et cosinus d’une fonction réelle , continue par morceaux sur et -périodique, donnés par :

; .

k∈IN ω_k kπ π 2--- +

= e_k

C

∀t∈[ , ]0 1, e_k( )t = 2cos(ω_kt)

Ω = ]0 +, ∞[–{ω_k k∈IN} { }ω_k _k_∈_IN ]0 +, ∞[

h∈

C

h≠0

C

= ^{Vect h}( )⊕Vect h( )^⊥

Vect h( )^⊥

( )^⊥ = Vect h( )

Π_h Vect h( )^⊥

f ∈

C

Π_h( )f f 〈f h〉 h ₂² ---h –

=

ξaξ″

A H

z t (t–s)z s( )ds

0

∫

t

 a 

 

a

n∈IN

f IR 4

a_n( )f 1

2--- f x( ) πnx ---2

 

 

cos dx

2 –

∫

2

= b_n( )f 1

2--- f x( ) πnx ---2

 

 

sin dx

2 –

∫

2

=

(3)

I.A - Démontrer que est une famille orthonormale de .

I.B - Pour , on note la fonction définie sur , -périodique et paire, telle que, pour on ait :

I.B.1) Donner, sans démonstration, quelques éléments de symétrie du gra- phe de Montrer que est continue par morceaux sur . À quelle condition est-elle continue sur ?

I.B.2) Expliciter, pour , en fonction . Calculer les autres coefficients de Fourier de

I.B.3) Montrer, en citant précisément les théorèmes utilisés, que, si :

I.B.4) Montrer de même que, si est de classe sur et si , alors, pour tout :

La série de fonctions du second membre converge-t-elle uniformément sur ? I.B.5) En appliquant les résultats des deux questions précédentes aux fonctions et , prouver les relations :

et, pour

I.B.6) On note la fonction définie, pour , par : e_k

( )_k_∈_N

C

f∈

C

f

˜

IR 4

t∈] 2 2– , ]

f

˜

( )t f t( ) si t∈[0 1, ]

0 si t = 1

f(2–t)

– si t∈]1,2]







=

f

˜

. f

˜

IR

k∈IN a_2k₊₁( f

˜

) 〈f e_k〉 f

˜

.

f∈

C

f ₂² 〈e_k f〉²

k=0

∑

∞

=

f 〈f e_k〉e_k

k=0

∑

n

–

2

0

=

nlim→∞

f

C

¹ ^{[ , ]}^{0 1} ^{f 1}( ) = 0

t∈[ , ]0 1 f t( ) 〈f e_k〉e_k( )t

k=0

∑

∞

=

[ , ]0 1

u tasin(ω(t–1)) 1

ω_k²

--- 1

2---

=

k=0

∑

∞

ω Ω∈ ω

tan 2ω

ω_k²–ω² ---

k=0

∑

∞

=

φ ω Ω∈

φ ω( ) 1

2ω---[ω–tanω]

=

(4)

Démontrer que, pour :

I.C - On pose pour et , :

I.C.1) Montrer que, pour , a une unique racine dans l’intervalle . On note la plus petite de ces racines, c’est-à-dire la racine de appartenant à l’intervalle .

I.C.2) Comparer et sur . En déduire que la suite converge en décroissant vers une limite .

I.C.3) Montrer que la suite converge uniformément vers la fonction nulle sur . En conclure que est différent de et est l’unique racine de dans l’intervalle .

Calculer une valeur approchée de à près en justifiant l’algorithme utilisé.

Partie II - Estimation de la vitesse en moyenne quadratique

On se propose, dans cette partie, d’établir que, si :

où a été défini dans la question I.C.2, et que cette constante est la plus petite possible valable quel que soit .

• L’entier naturel est toujours supposé supérieur ou égal à .

• Pour , la notation est celle définie dans la question A - des prélimi- naires.

II.A - Pour , on note la fonction définie sur par : ω Ω∈

ω² ω_k²(ω²–ω_k²) ---=φ ω( )

k=0

∑

∞

ω Ω∈ n∈IN n≥2 φ_n( )ω ω²

ω_k²(ω²–ω_k²) ---

k=0

∑

n

=

k∈ v0,n–1b φ_n ]ω_k,ω_k₊₁[ µ_n

φ_n ]ω₀,ω₁[

φ_n φ_n₊₁ ]ω₀,ω₁[ µ_n

( )_n_≥₂ µ∈[ω₀,ω₁[

φ φ– _n ( )_n_≥₂

]ω₀,ω₁[ µ ω₀

φ ]ω₀,ω₁[

µ 10^–⁶

ξ∈

A

ξ′ ₂ 1 µ--- ξ″ ₂

≤

µ 1

µ--- ξ∈

A

n 2

h∈

C

Π_h

z∈

C

T z( ) y [ , ]0 1

y t( ) (1–t) z s( )ds (1–s)z s( )ds

t

∫

1

+

0

∫

t

=

(5)

II.A.1) Montrer que est de classe sur et vérifie les relations suivantes :

II.A.2) Prouver que est un endomorphisme de et que, si et appar- tiennent à ,

II.A.3) Montrer que est un vecteur propre de pour une valeur propre à préciser en fonction de . Déduire de la question I.B.3 que, pour tout :

et donner un cas d’égalité avec .

II.B - On note la projection orthogonale de sur et .

II.B.1) Montrer que .

Calculer les coordonnées de dans la base de et

préciser la dimension de .

II.B.2) Montrer que est stable par l’endomorphisme . On note l’endomorphisme de induit par , c’est-à-dire tel que :

Démontrer que, pour tout couple de vecteurs de : En déduire que est diagonalisable.

II.B.3) Calcul des valeurs propres de .

Soit . Déterminer, par ses coordonnées dans la base , l’unique

vecteur tel que :

À quelle condition sur , appartient-il à ? En déduire que les valeurs propres de sont les réels de la forme où est un zéro de la fonction définie

y = T z( )

C

² [ , ]0 1

y″ = –z y 1( ) = 0 y′( )0 = 0







T

C

z₁ z₂

C

T z( )₁ z₂

〈 〉 = 〈z₁ T z( )₂ 〉

e_k T

ω_k z∈

C

T z( )₂ 4 π² --- z ₂

≤

z≠0

u_n u Vect e( ₀, , ,e₁ … e_n)

H

n =

H

∩^{Vect e}( ₀, , ,^e₁ … e_n)

H

n = Vect u( )_n ^⊥∩Vect e( ₀, , ,e₁ … e_n)

u_n (e₀, , ,e₁ … e_n) Vect e( ₀, , ,e₁ … e_n)

H

n

H

n Π_u_noT T_n

H

n Π_u

noT

∀z∈

H

n, T_n( )z = Π_u_noT( )z z₁,z₂

( )

H

n

T_n( )z₁ z₂

〈 〉 = 〈z₁ T_n( )z₂〉 T_n

T_n

ω Ω∈ (e₀, ,… e_n)

z∈Vect(e₀, , ,e₁ … e_n) T z( ) z

ω² ---

– u_n

6 ---

=

ω z

H

n

T_n 1

ω²

--- ω φ_n

(6)

II.B.4) Montrer que, pour tout :

( a été défini à la question I.C.1).

II.C - Soit . On pose :

II.C.1) Montrer que :

, , En déduire que

II.C.2) Montrer que si est un réel tel que : ,

alors .

II.D - Soit . Montrer que et conclure.

••• FIN •••

z∈

H

n

z T z( )

〈 〉 1

µ_n² ---〈z z〉

≤ µ_n

z∈

H

z_n Π_u

n 〈z e_k〉e_k

k=0

∑

n

 

 

 

=

z_n∈

H

n z–z_n

nlim→∞ 2 = 0 T z( )–T z( )_n

nlim→∞ 2 = 0

z T z( )

〈 〉 1

µ² ---〈z z〉

≤

C₂

∀z∈

H

〈z T z( )〉≤C₂〈z z〉 C₂ 1

µ² ---

≥

ξ∈

A

〈ξ′ ξ′〉 = 〈ξ″ T( )ξ″〉