D 366. Les faces de même aire ont même air. ***
Problème proposé par Pierre Renfer
Soit ABCD un tétraèdre dont les quatre faces ont la même aire.
Montrer que les quatre faces sont isométriques, les longueurs des arêtes vérifiant : AB = CD et AC = BD et AD = BC
Solution proposée par Michel Lafond
Considérons un repère orthonormé dans lequel les 4 sommets ont les coordonnées indiquées dans la figure 1 ci-dessus.
Puisque les 4 faces ont la même aire, les 4 hauteurs du tétraèdre sont égales.
On a :
Distance (D, ABC) = e (1) Une équation de (ACD) est
Donc
Une équation de (BCD) est Donc
Une équation de (ABD) est
Donc
(1) et (4) donnent
(1) et (2) donnent
(1) et (3) donnent
En soustrayant (6) et (7) on obtient
En remplaçant dans (8) tiré de (5) on obtient après simplifications :
A (0, 0, 0) B (0, 1, 0)
D (c, d, e)
C (a, b, 0) Figure 1
Mais e étant non nul, d’après (5) Donc d’après (9)
On déduit de (5) et (10) Ainsi, AC = BD = u
Par symétrie on a AB = CD = v et BC = AD = w ce qui conduit à la figure 2 ci-dessous, montrant que les 4 faces sont isométriques.
A B
D
C Figure 2
u
u
v
w w
v
