Lemme n°2 : BD/CD = c²/b²

D1989 – Concours d’élégance [*** à la main]

Problème proposé par Jean-Nicolas Pasquay

Soit un triangle ABC, M milieu de BC, D est sur BC le pied de la symédiane (les angles BAC et MAD ont même bissectrice). Démontrer de la façon la plus élégante possible que (AM – AD)/(AM + AD) est le carré de (AB – AC)/(AB + AC)

Solution proposée par Bernard Vignes

Soient BC = a, CA = b et AB = c. On désigne par x et y les distances de D aux côtés AB et AC.

Lemme n°1 : AD étant la symédiane issue de A, on a la relation x/y = c/b (voir annexe ).

Lemme n°2 : BD/CD = c²/b².

En effet, aire du triangle (ABD) / aire du triangle ACD = BD/CD.D’après le lemme n°1,on en déduit BD/CD = cx/by = c²/b².

Corollaire : Comme BD+CD = a, on obtient BD = ac²/(b²+c²)

BD et MC sont vus du sommet A du même angle θ. La loi des sinus donne dans le triangle ABD : BD/sin(θ) = AD/sin(ABC) et dans le triangle AMC : MC/sin(θ) = AM/sin(ACB).

Comme sin(ABC) / sin(ACB) = b/c, il en résulte AD/AM = b.BD/c.MC = 2b.BD/ac . D’après le corollaire du lemme n°2, on a donc AD/AM = 2bc/(b²+c²).

Ce qui donne (AM – AD)/(AM + AD)= (b – c)²/(b + c)² = (AB – AC)²/(AB + AC)² Annexe

Démonstration du lemme n°1

D se projette en E et F sur AB et AC. M se projette en P et Q sur AB et AC. Les quadrilatères AEDF et APMQ sont inscriptibles.

D’oùDEF=DAF=BAM=PQM et DFE=EAD=MAQ=MPQ. Les triangles DEF et MQP sont donc semblables et MQ/MP = DE/DF= x/y.

Comme aire AMB = aire AMC, MP.AB = MQ.AC ,soit x/y = MQ/MP = AB/AC = c/b.