A553. Puissances inaccessibles
Soient :
- Pn le produit des n premiers nombres premiers = p1p2p3...pn avec p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5,...
- pn+1 le (n+1)ième nombre premier,
- Qn le produit de n nombres premiers impairs = q1q2...qn
Pb₁ (*) : Démontrer que pour n quelconque, Pn + 1 ne peut jamais être un carré parfait Pb₂ (**) : Démontrer que pour n quelconque,Qn21 ne peut jamais être un cube parfait Pb₃ (***) : Pour quelles valeurs de n a-t-on Pn >pn21 ? Justifier votre réponse.
Pb₄ (*****) pour les plus courageux : Démontrer que pour n > 1, Pn – 1 ne peut jamais être une puissance parfaite.
Solution proposée par Paul Voyer Pn est appelé la primorielle de n.
Q1
Pn+1 = 2*impair+1 = 3 modulo 4.
Pour tout p, (2p+1)²=4p²+4p+1 vaut 1 modulo 4, jamais 3.
Pn+1 ne peut donc jamais être un carré.
Q2
21
Qn = 2 modulo 4.
Si c'était un cube (pair), il serait multiple de 8 et vaudrait 0 modulo 4.
21
Qn ne peut donc jamais être un cube.
Q3
P1=2 p2²=9
P2=6 p3²=25
P3=30 p4²=49
P4=210 p5²=121
Pour tout n≥4, on a toujours Pn>pn+1².
En effet, il existe toujours un nombre premier entre k et 2k.
(conjecture énoncée par Bertrand démontrée par Tchebychev)
Alors Pn+1/Pn=pn+2 tandis que pn+2²/pn+1²<4, ce qui permet la démonstration par récurrence.
Q4 (non résolu)
Pn-1 est un nombre de Kummer, http://oeis.org/A057588.
Il est congruent à -1 modulo les n premiers nombres premiers.
http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/matha1/matha103.htm donne les premiers de ces nombres, décomposés en facteurs premiers.
Dans cette liste, tous les facteurs premiers sont présents à la seule puissance 1.
