Enoncé E125 (Diophante) Le possible et l’impossible
On définit la relation de récurrencepn= [2{an+b}] dans laquellenprend les valeurs entières 0,1,2,3.. . ., a et b sont deux nombres réels, {x} et [y]
désignent respectivement la partie décimale de xet la partie entière dey.
On obtient ainsi une suite S composée exclusivement de 0 et de 1.
Q1 Montrer qu’en choisissant aetb de manière adéquate, on sait trouver dans S une chaîne quelconque de quatre termes consécutifs choisis parmi les 16 quadruplets possibles constitués de 0 et de 1.
Q2 Montrer qu’après avoir choisi aetb une fois pour toutes, il est impos- sible de trouver dansSles 16 chaînes possibles de quatre termes constitués de 0 et de 1.
Q3 Montrer que quel que soit le choix de a et de b, il est impossible de trouver dans S une certaine chaîne de cinq termes consécutifs que l’on déterminera.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
La suite S ne dépend pas de la partie entière de a et b; on peut donc supposera, b <1 sans perte de généralité.
Soitqn= [an+b] ; comme a, b <1, 0≤qn< n+ 1.
Depn≤2{an+b}<1 +pn, on déduit qn+pn/2≤an+b < qn+ (1 +pn)/2.
Je considère les séquencesp0, p1, p2, p3; on peut toujours se ramener à ce cas en modifiantb d’un multiple dea.
Soit M(a, b) un point du carré unité. Le quadruplet des pi résulte de la position deM par rapport aux droitesan+b=k/2, pour k= 1 à 2n+ 1 etn= 0 à 3.
Ces 16 droites délimitent 30 domaines du carré unité, fournissant chacun un quadruplet. Chaque traversée d’une droite remplace un despi par son complément à 1 : p0 pour la droite noire, p1 pour les droites vertes, p2 pour les droites bleues, p3 pour les droites rouges.
Je code les quadruplets par le chiffre hexadécimal (0 à F) qui s’écrit en binaire p0p1p2p3. La figure (page suivante) montre que, pour chacun des 16 quadruplets, il existe un ou deux domaines où l’on peut choisir le point M(a, b) en sorte d’obtenir ce quadruplet.
Question 2
Il est équivalent de considérer les différents quadruplets d’une suite S et les quadrupletsp0p1p2p3 de suitesSqui correspondent au mêmeaet à des valeurs debdécalées d’un multiple dea. Observons que les quadruplets se groupent en 4 familles selon la valeur de a:
0, 1, 3, 7, 8, C, E, F si 0< a <1/6 ou 5/6< a <1 ; 1, 3, 6, 7, 8, 9, C, E si 1/6< a <1/4 ou 3/4< a <5/6 ; 2, 3, 4, 6, 9, B, C, D si 1/4< a <1/3 ou 2/3< a <3/4 ; 2, 4, 5, 6, 9, A, B, D si 1/3< a <2/3.
Si a est irrationnel, les parties fractionnaires {na+b} sont denses dans l’intervalle (0,1), et la suiteS comporte tous les quadruplets d’une même famille, mais seulement ceux-là. Dans tous les cas, une suiteSne comporte que des quadruplets d’une même famille, 8 au plus.
Question 3
Si on remplacebparb+a, les 4 premiers termes de la nouvelle suite seront p1p2p3p4 de la suite initiale, et ce quadruplet appartiendra à la même famille quep0p1p2p3.
Je code les quintuplets par les deux chiffres hexadécimaux correspondant aux 4 premiers termes et aux 4 derniers termes ; par exemple, 00010 est codé 12, mais aucune famille ne contient à la fois les quadruplets 1 et 2.
Même difficulté pour les quintuplets 01000 (48), 10111 (B7), 11101 (ED).
Le graphique conduit à s’interroger sur les cas-limite a = 1/4 ou 3/4, séparant la zone à quadruplets 1, 7, 8, E de la zone à quadruplets 2, B, 4 D ; mais on constate qu’alors la suiteS est périodique de période 0011, d’où les seuls quadruplets 3, 6, C, 9.
Ce sont donc (au moins) quatre quintuplets : 00010, 01000, 10111, 11101 qui ne peuvent apparaître dans aucune suiteS1.
1. De manière générale, changer b enb±1/2 échange 0 et 1 dans les pn; changer (a, b) en (a0= 1−a, b0=b+ma) donne pour la suiteS0 p0n=pm−n.
