Enoncé D2911 (Diophante) Les multi-sectrices
On partage chacun des angles du triangle d’angles (3π/5,3π/10, π/10) en 9 angles égaux en traçant les 9-sectrices. Combien ces 24 segments déterminent-ils de domaines polygonaux (non réduits à un point) à l’inté- rieur du triangle ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Chaque nouvelle sectrice tracée ajoute autant de nouveaux domaines (non traversés par une sectrice) que de segments en lesquels les droites déjà tracées la partagent, chaque segment divisant en 2 un domaine préexistant.
Partant du triangle vide, les huit 9-sectrices issues du sommet de gauche B ajoutent chacune 1 domaine, produisant en tout 9 domaines.
Les huit 9-sectrices issues du sommet de droite C sont coupées chacune en 9 segments par les 8 droites déjà tracées. Le nombre de domaines s’en trouve augmenté de 8·9 = 72 et porté à 81.
Les huit 9-sectrices issues du sommet du haut A sont coupées chacune en 2·8 points par les droites déjà tracées, formant 17 segments, à moins qu’elles ne passent par des points de concours de ces dernières. S’il existe nde ces points communs aux 3 réseaux de droites, cela réduit d’autant le nombre de segments sur les sectrices issues de A, le nombre de domaines se trouve augmenté de 8·17−n= 136−n et porté à 217−n.
Soit M un point intérieur au triangle, point de concours des céviennes AD, BE, CF. La relation de Céva crée une dépendance entre les angles α= (AB, AM),β = (BC, BM) et γ = (CA, CM).
On a par exemple DB/AD = sinα/sinB,DC/AD = sin(A−α)/sinC, d’où en valeur algébriqueDC/DB =−sin(A−α) sinB/sinαsinC.
On a de mêmeEA/EC =−sin(B−β) sinC/sinβsinA et F B/F A=−sin(C−γ) sinA/sinγsinB.
Cela donne sin(A−α) sin(B−β) sin(C−γ) = sinαsinβsinγ.
Le nombre n à déterminer est le nombre des triplets (a, b, c) d’entiers (1≤a, b, c ≤ 8) satisfaisant cette condition avec α = aπ/15, β = bπ/30, γ =cπ/90. Du fait de la symétrie du critère, invariant quand on échange les entiersa, b, cavec leurs compléments à 9, les points communs apparaissent par paires de points isogonaux.
Après test sur tableur de la trentaine de triplets que la figure fait suspecter (sur 83 = 512), seulement trois paires satisfont le critère : (2,5,6) et (7,4,3) ; (3,4,6) et (6,5,3) ; (3,7,3) et (6,2,6). On le vérifie en transformant les termes du critère en sommes et produits de cosinus ou sinus.
Ainsin= 6 et le nombre de domaines polygonaux est 211.
