Enoncé D1977 (Diophante) Les points limites
Soient un point courant A sur l’axe des y et les points B et C d’abscisses−3 et +3 sur l’axe desx. On trace le pointDsur l’axe des x tel queBD =AB =CD −CB. Le cercle tangent en A à AC passant par D recoupe l’axe des x en E et la médiatrice de AE coupe AC en F.
Q1 Quel est le point limite deF quand Atend vers l’origine ? Q2 Quels sont les points limites de F quand A tend vers +∞ et vers −∞sur l’axe desy?
Q3 Pour les plus courageux : Déterminer le lieu de F quand A parcourt l’axe des ordonnées.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La puissance deC par rapport au cercle (ADE) est CD·CE = CA2.
La perpendiculaire enAàACcoupeBC enH. Le cercle de centre F et de rayon F A=F E est tangent àAH et recoupe BC en G.
F se projette sur BC au milieu de EG. La puissance de H par rapport au cercle (AEG) estHE·HG=HA2.
Toutes les longueurs se dérerminent à partir de l’anglec= (CA, CB).
AB=CA= 3/cosc;CD= 6 + 3/cosc;CH = 3/cos2c;
CE = 3/(2 cos2c+ cosc) ; HE = 3(1 + cosc)/(2 cos2c+ cosc) ; AH= 3 sinc/cos2c;HG= 3(1 + cosc−2 cos2c)/cos2c;
CG= 3(4 cos2c−1)/(2 cos2c+ cosc).
Finalement 2CFcosc=CE+CG= 12 cosc/(2 cosc+ 1) et CF = 6/(2 cosc+ 1).
Cette équation polaire du lieu de F montre que c’est un arc de conique, de foyerC, d’excentricité 2 (hyperbole). L’autre foyer est K(−5,0), avec KF =CF + 4.
Question 1 : quandAtend vers l’origine,c= 0,F vient enS(1,0), sommet de la branche d’hyperbole. L’autre sommet estB.
Question 2 : quandA s’éloigne à l’infini sur l’axe desy,c=±π/2, F tend vers les intersections de l’hyperbole avec la droitex = 3, qui sont les points (3,±6).
Question 3 : le lieu est l’arc de l’hyperboleKF = 4 +CF compris entre les points (3,±6).
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