Enoncé D1820 (Diophante) Au menu de Santa Marta
Les pointsA0, B0 etC0 sont les points de contact des cercles exinscrits d’un triangle ABC avec les côtés BC, CAetAB.
Démontrer que le centre du cercle circonscrit au triangle A0B0C0 est sur le cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si le triangleABC est rectangle.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le calcul de la distance entre les deux centres (proposé comme exercice E.363 dans Quadrature no94) aboutit à l’expression
|OO1|2 =R2−4(R−r)R3
r2 cosAcosBcosC La propriété de l’énoncé D1820, qui s’écrit
|OO1|=R⇐⇒cosAcosBcosC = 0, en découle immédiatement.
Pour démontrer l’expression ci-dessus, je travaille en coordonnées bary- centriques de base (A, B, C).
Les côtés du triangle ABC ont pour longueurs BC=a, CA=b, AB=c; p est le demi-périmètre etS =pr=abc/(4R) l’aire.
A0, B0, C0admettent pour coordonnéesA0(0, p−b, p−c) ;B0(p−a,0, p−c) ; C0(p−a, p−b,0).
1/ L’équation générale d’un cercle est
f(x, y, z) =−a2yz−b2zx−c2xy+ (x+y+z)(lx+my+nz) = 0.
Pour un cercle passant par A0, on a la condition
−a2(p−b)(p−c) +a(m(p−b) +n(p−c)) = 0, soit m(p−b) +n(p−c) =a(p−b)(p−c).
De même, pour B0 etC0, on a
n(p−c) +l(p−a) =b(p−c)(p−a) etl(p−a) +m(p−b) =c(p−a)(p−b).
On en tire
2l(p−a) =b(p−c)(p−a) +c(p−a)(p−b)−a(p−b)(p−c) =
=abc−2p(p−b)(p−c) = 4RS−2SrA
en utilisant la formule de Héron et le rayon rA = S/(p −a) du cercle exinscrit dans l’angleA.
D’où l = (2R−rA)rA et les expressions similaires m = (2R−rB)rB et n= (2R−rC)rC, ce qui définit le cercle circonscrit auu triangleA1B1C1.
2/ SoitO1 le centre du cercle d’équation
f(x, y, z) =−a2yz−b2zx−c2xy+ (x+y+z)(lx+my+nz) = 0.
C’est le pôle de la droite de l’infini, d’équationx+y+z= 0. Ses coordon- nées vérifient donc fx0(x, y, z) =fy0(x, y, z) =fz0(x, y, z).
f0xpeut s’écrire, avec h=x(l+a2) +y(m+b2) +z(n+c2) (l−b2−c2)(x+y+z) +x(b2+c2−a2) +h,
et le système à satisfaire par les coordonnées deO1 se réduit à fx0 −h=fy0 −h=fz0 −h, soit
(l−b2−c2)(x+y+z) + 4SxcotA= (m−c2−a2)(x+y+z) + 4SycotB = (n−a2−b2)(x+y+z) + 4SzcotC.
La valeur commune de ces expressions est aussi celle de leur somme pon- dérée par cotBcotC,cotCcotA,cotAcotB (de somme 1), soit
(x+y+z)((l−b2−c2) cotBcotC+ (m−c2−a2) cotCcotA+ (n−a2− b2) cotAcotB+ 4ScotAcotBcotC).
Nous pouvons poser x +y +z = 1 ; il apparaît que les coordonnées (x1, y1, z1) de O1 sont fonctions affines de l, m, n. Leurs valeurs pour l = m = n = 0 sont celles de O, soit (x0, y0, z0). Ne gardant que les termes enl, m, n, on obtient
4ScotA(x1−x0) =l(cotBcotC−1) +mcotCcotA+ncotAcotB=
= (m−l) cotCcotA+ (n−l) cotAcotB.
D’oùx1−x0 = ((m−l) cotC+ (n−l) cotB)/(4S), et de même
y1−y0= ((n−m) cotA+ (l−m) cotC)/(4S), z1−z0= ((l−n) cotB+ (m−n) cotA)/(4S).
Ces formules ne sont pas liées aux valeurs l, m, n déterminées au para- graphe 1 et valent pour un cercle quelconque. On en déduit
|OO1|2 =−a2(y1−y0)(z1−z0)−b2(z1−z0)(x1−x0)−c2(x1−x0)(y1−y0).
Cela donne, après substitution et réarrangement
|OO1|2 = a2(l−m)(l−n) +b2(m−n)(m−l) +c2(n−l)(n−m))
16S2 .
3/ Pour combiner les résultats des paragraphes 1 et 2, j’observe que (théo- rème de Lazare Carnot)
r/R =−1 + cosA+ cosB+ cosC, rA/R= 1−cosA+ cosB+ cosC, rB/R= 1 + cosA−cosB+ cosC, rC/R= 1 + cosA+ cosB−cosC,
en sorte que m−n= (rB−rC)(2R−rB−rC) = 4R2cosA(cosB−cosC) et les relations analogues.
J’évalue les quantités telles que
a2(l−m)(l−n)/(64R6) = sin2AcosBcosC(cosA−cosB)(cosA−cosC) au moyen des quantités u= 1 + cosA, v = 1 + cosB, w = 1 + cosC et de leurs fonctions symétriques P =u+v+w, Q=vw+wu+uv, T =uvw, en remarquant que S2/r2 =p2 = 2R2T.
Comme A+B +C = π,P, Q, T ne dépendent que de deux paramètres ; ils sont liés par la relation P2+ 2T = 4Q. En effet, u, v, w sont racines de l’équation t3−P t2+Qt−T = 0. Soit t= s+ 1, cosA,cosB,cosC sont racines de l’équation
s3−(P−3)s2+ (Q−2P+ 3)s−(T−Q+P−1) = 0 ; la somme des carrés des racines est (P −3)2−2(Q−2P + 3) =P2−2P−2Q+ 3.
Comme (cosA+ cosBcosC)2 = (1−cos2B)(1−cos2C),
2T −2Q+ 2P −2 = (1−cos2B)(1−cos2C)−cos2A−cos2Bcos2C = 1−(P2−2P −2Q+ 3), d’où la relation annoncée.
Le développement dea2(l−m)(l−n)/(64R6) =
=u(2−u)(v−1)(w−1)(u−v)(u−w) =
=u(2−u)(vw−(v+w) + 1)(u2−u(v+w) +vw) =
=u(2−u)(T /u+ 1−P+u)(u2−2u(v+w) +Q) =
= (2−u)(u2+ (1−P)u+T)(3u2−2P u+Q) =
= (3u4+ (3−5P)u3+ (−2P +Q+ 3T + 2P2)u2+ (Q−P Q−2P T)u+ QT)(−u+ 2) =
=−3u5+u4(5P + 3) +u3(6−8P−Q−3T−2P2) +
+u2(−4P+Q+ 6T+P Q+ 2P T+ 4P2) +u(2Q−2P Q−4P T−QT) + 2QT. Sa valeur ne change pas si on y ajoute
0 = (u3−P u2+Qu−T)(3u2−(2P+ 3)u−6 + 5P−2Q+ 3T) =
= 3u5−(5P + 3)u4+ (−6 + 8P +Q+ 3T + 2P2)u3+ + (6P−3Q−3T−3P T −5P2)u2+
+ (−6Q+ 3T + 5P Q+ 2P T + 3QT −2Q2)u+ 6T−5P T + 2QT−3T2, ce qui réduit l’expression au trinôme enu
(2P −2Q+ 3T +P Q−P T −P2)u2+
+ (−4Q+ 3T + 3P Q−2P T + 2QT −2Q2)u+ + 6T −5P T + 4QT−3T2.
Il reste à y ajouter les termes analogues oùu est remplacé par vet w.
UtilisantP2= 4Q−2T,u2+v2+w2=P2−2Q= 2Q−2T, et le coefficient deu2 est 2P−6Q+ 5T+P Q−P T, d’où la contribution de ces termes à 16S2|OO1|2/(64R6) :
4P Q−4P T −12Q2−10T2+ 22QT + 2P Q2−4P QT + 2P T2.
Dans le coefficient deu, je sépare P(3Q−2T) qui donne la contribution P2(3Q−2T) = (4Q−2T)(3Q−2T) = 12Q2−14QT+ 4T2,
et−4Q+ 3T+ 2QT−2Q2, donnantP(−4Q+ 3T+ 2QT−2Q2).
Le terme constant donne 3(6T−5P T + 4QT−3T2).
Finalement, 16S2|OO1|2
64R6 =T(18−16P + 20Q−15T−2P Q+ 2P T).
Compte tenu de P2= 4Q−2T, cette expression s’identifie à T(8−4P+ 2Q−T)−2T(5−P)(T −Q+P−1).
Le facteur 8−4P+ 2Q−T = (2−u)(2−v)(2−w) =
= (1−cosA)(1−cosB)(1−cosC) =r2/(2R2).
AinsiT(8−4P+ 2Q−T) =p2r2/(4R4) =R2·16S2/(64R6) et correspond au premier terme de la formule annoncée.
Le facteur 5−P = 2−cosA−cosB−cosC= 1−r/R.
Le facteurT −Q+P −1 = (u−1)(v−1)(w−1) = cosAcosBcosC.
Ainsi 2T(5−P)(T−Q+P−1) = (p2/R2)(1−r/R) cosAcosBcosC=
= S2
r2R3(R−r) cosAcosBcosC= 16S2
64R6 ·4(R−r)R3
r2 cosAcosBcosC.
Cela fournit la seconde partie de la formule annoncée
|OO1|2 =R2−4(R−r)R3
r2 cosAcosBcosC
