D1820. Au menu de Santa Marta
Les points A’,B’ et C’ sont les points de contact des cercles exinscrits d’un triangle ABC avec les cˆot´es BC,CA et AB. D´emontrer que le centre du cercle circonscrit au triangle A’B’C’ est sur le cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si le triangle ABC est rectangle.
ΓK est le cercle circonscrit `a A’B’C’, de centre K.
Ca,Cb etCcsont les centres des cercles exinscrits du triangle ABC.
Γ0cercle circonscrit `a ABC est le cercle d’Euler du triangleCaCbCc, parce que les bissectrices ext´erieures de ABC sont les cˆot´es deCaCbCc, et que les bissec- trices internes en sont les hauteurs. Donc M milieu de CbCc appartient `a Γ0.
Le cercleΓM de centre M et de diam`etreCbCcpasse par B et C (angles droits C\bBCc etC\bCCc ⇒ M est sur la m´ediatrice de BC.
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Les droitesACa,BCb etCCc se coupent enBv point de Bevan de ABC.
ΓN de diam`etreABv (centre N) passe par B’, C’ et M (angles droits en ces 3 points).
⇒La m´ediatrice de B’C’ passe par M et par K.
K est surΓ0si et seulement s’il est confondu avec M : dans cette situation, AM B\v = π
2 : N est confondu avec le milieu de B’C’ et C\0AB0= π
2 :
⇒Le triangle ABC est rectangle en A.
Autre propri´et´e restant `a d´emontrer: quel que soit l’angle en A, K est align´e avec le point de BevanBv et avec le point de NagelNg du triangle ABC.
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