Enoncé J155 (Diophante) Comment changer les + en−
Chaque case d’un quadrillage 100×100 contient un signe plus (+).
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins (−) ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
En fin d’opération, le contenu d’une case reflète la parité du nombre de fois où on a inversé sa ligne ou sa colonne. Peu importe l’ordre de ces inversions, et le résultat est lié aux nombresaetbdes lignes et des colonnes inversées un nombre impair de fois.
On peut supposer qu’il s’agit des apremières lignes et des b pre- mières colonnes. Les signes + occupent alors un rectangle dea×b cases et un rectangle de (100−a)×(100−b) cases, soit en tout 2ab−100(a +b) + 10000 cases. Il s’agit d’égaler ce nombre à 100×100−2020 = 7980.
Cela donneab−50(a+b)+5000 = 3990, soit (50−a)(50−b) = 1490.
Mais 1490 ne se factorise pas en produit de deux facteurs < 50, car 149 est un nombre premier. Il est impossible d’obtenir 2020 signes moins par l’opération indiquée.