J155. Comment changer les + en – MB
Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus (+).
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ?
Si x lignes et y colonnes sont inversées une seule fois (x ≤ 100 et y ≤100) xy cases sont inversées deux fois et retrouvent leur signe +
Le nombre de signes moins obtenus sur les colonnes inversées est y(100 – x), et le nombre de signes moins obtenus sur les lignes inversées est x(100 – y) soit au total 100(x+y) – 2xy Résoudre 100(x+y) – 2xy = 2020, 50(x+y) – xy = 1010, (50 – x)(50 – y) = 2500 + 1010 3510 = 2.33.5.13
Il existe 16 couples (X,Y) de diviseurs de 3510 tels que XY = 3510
On aurait ensuite le choix entre (x = 50 – X et y = 50 – Y) ou (x = 50 + X et y = 50 + Y)
Comme aucun des couples (X, Y) ci dessus ne vérifie X ≤ 50 et Y≤ 50, on ne trouve aucune solution compatible avec 0≤ x ≤100 et 0 ≤ y ≤ 100.
On ne peut pas obtenir 2020 signes (-).
