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J155 - Comment changer les + en -

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Academic year: 2022

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Problème proposé par Raymond Bloch

Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus (+).

On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.

Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?

Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ?

Ces opérations sont commutatives : le résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel on effectue les inversions de lignes et de colonnes. ; si a lignes et b colonnes ont été inversées, le nombre de signes (-) est alors a(100-b)+(100-a)b=100(a+b)-2ab=2020 :

comme pour a+b=23, ab≤132, les seules possibilités sont a+b=21 ou 22.

Les systèmes d’ équations a+b=21, ab=40 et a+b=22, ab=90, auxquels correspondent respectivement les équations du second degré x2-21x+40=0 et x2-22x+90=0, n’ont pas de solutions entières : le problème posé n’a donc pas de solution.

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