Problème proposé par Raymond Bloch
Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus (+).
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ?
Ces opérations sont commutatives : le résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel on effectue les inversions de lignes et de colonnes. ; si a lignes et b colonnes ont été inversées, le nombre de signes (-) est alors a(100-b)+(100-a)b=100(a+b)-2ab=2020 :
comme pour a+b=23, ab≤132, les seules possibilités sont a+b=21 ou 22.
Les systèmes d’ équations a+b=21, ab=40 et a+b=22, ab=90, auxquels correspondent respectivement les équations du second degré x2-21x+40=0 et x2-22x+90=0, n’ont pas de solutions entières : le problème posé n’a donc pas de solution.
