J155. Comment changer les + en – Problème proposé par Raymond Bloch
Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus (+).
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ? Solution proposée par Nicolas Petroff
En considérant que les seules opérations sont des inversions de lignes ou de colonnes et partant d’un tableau 100X100 de signes plus, en inversant la 1ère ligne, on obtient 100 signes moins , puis en inversant les (m-1) lignes suivantes, on obtient 100m signes moins.
Puis à partir de ces m opérations en inversant la 1ère colonne, on obtient (100-2m) signes moins supplémentaires, puis en inversant les (p-1) colonnes suivantes, on obtient donc en tout :
[100m+p(100-2m)] signes moins,
soit en totalité: [100(m+p)-2mp] signes moins, cette façon de procéder en inversant les m 1ères lignes puis les p 1ères colonnes n’enlève rien à la généralité de la formule obtenue.
Partant de cette formule, avec quelques essais sur une calculatrice (puis vérification avec un automate à explorations exhaustives…), on obtient le résultat qui se rapproche le plus de 2020, soit 2024 en
21 opérations : soit 19 inversions de colonnes et 2 inversions de lignes ou : 2 inversions de colonnes et 19 inversions de lignes.
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