Seconde 12 DS 8 : Correction 13 avril 2018 Exercice 1 : R´esoudre des ´equations/in´equations (5 minutes) (2 points)
R´esoudre :
1. x2−x= 0 2. x−5
x−3 60
Solution:
1. S={0; 1}
2. `A l’aide d’un tableau de signes,S =]3; 5]
Exercice 2 : Questions simples sur les probas (5 minutes) (2 points) Soient AetB deux ´ev´enements tels queP(A) = 0,3,P(B) = 0,5 et P(A∩B) = 0,2
1. CalculerP( ¯A) 2. CalculerP(A∪B)
Solution:
1. P( ¯A) = 1−P(A) = 0,7
2. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) = 0,6
Exercice 3 : Une petite fonction (15 minutes) (5 points)
Soit f d´efinie par f(x) = 2x+ 1 x+ 2
1. Donner l’ensemble de d´efinition de f; 2. Montrer quef(x) = 2− 3
x+ 2;
3. R´esoudref(x)>0 ;
4. Montrer quef est croissante sur ]− ∞;−2[.
Solution:
1. x+ 2 = 0⇔x=−2. L’ensemble de d´efinition est ]− ∞;−2[∪]−2; +∞[ ; 2. 2− 3
x+ 2 = 2x+ 4−3
x+ 2 = 2x+ 1 x+ 2 ; 3. f(x)60⇔ 2x+ 1
x+ 2 60. `A l’aide d’un tableau de signe,S =]− ∞;−2[∪[−12; +∞[ ; 4. Soientaetb deux r´eels inf´erieurs `a −2 :
a > b⇔a+ 2> b+ 2⇔ 1
a+ 2 < 1 b+ 2
(car la fonction inverse est strictement d´ecroissante sur ]− ∞; 0[)
⇔ − 3
a+ 2 >− 3
b+ 2 ⇔f(a)> f(b).
Doncf est bien croissante sur ]− ∞;−2[
Exercice 4 : Probl`eme de proba (20 minutes) (71/2 points) Dans un lyc´ee de 1470 ´el`eves, 350 ´el`eves ont ´et´e vaccin´es contre la grippe au d´ebut de l’hiver.
10% des ´el`eves ont contract´e la maladie pendant l’´epid´emie annuelle ;
Parmi les ´el`eves qui ´etaient vaccin´es, 4% des ´el`eves ont contract´e la maladie.
1. Compl´eter le tableau en bas de la page
2. On choisit au hasard l’un des ´el`eves de ce lyc´ee, tous les ´el`eves ayant la mˆeme probabilit´e d’ˆetre choisis.
(a) Calculer la probabilit´e des ´ev´enements :
• V :il a ´et´e vaccin´e; • G :il a eu la grippe. (b) D´ecrire par une phrase puis calculer la probabilit´e de l’´ev´enementV ∩G.
(c) D´ecrire par une phrase puis calculer la probabilit´e de l’´ev´enementV ∪G.
(d) D´ecrire par une phrase puis calculer la probabilit´e de l’´ev´enementV
Seconde 12 DS 8 Page 2 de 3 3. On choisit au hasard un ´el`eve parmi ceux qui ont ´et´e vaccin´es, quelle est la probabilit´e qu’il ait eu la
grippe ?
4. On choisit au hasard un ´el`eve parmi ceux qui n’ont pas ´et´e vaccin´es, quelle est la probabilit´e qu’il ait eu la grippe ?
5. Expliquer pourquoi le vaccin est efficace.
6. Mod´eliser cette situation par deux arbres diff´erents. (on arrondira les probabilit´es `a 10−2) Solution:
1.
El`´ eves Gripp´es non Gripp´es TOTAL
Vaccin´es 14 336 350
non Vaccin´es 133 987 1120
TOTAL 147 1323 1470
2. (a) p(V) = 350 1470 = 5
21 etp(G) = 0,10
(b) V ∩G:il a ´et´e vaccin´e et il a la grippep(V ∩G) = 14 1470 = 1
105 (c) V ∪G:il a ´et´e vaccin´e ou il a la grippep(V ∪G) = 350 + 147−14
1470 = 483
1480 = 23 70 (d) ¯V :il n’a pas ´et´e vaccin´e.p( ¯V) = 1−p(V) = 1120
1470
3. La probabilit´e qu’il ait eu la grippe sachant qu’il a ´et´e vaccin´e est 14
350 = 0,04 ; 4. La probabilit´e qu’il ait eu la grippe sachant qu’il n’a pas ´et´e vaccin´e est 133
1120 = 0,11875 ;
5. 4% des ´el`eves qui sont vaccin´es ont eu la grippe et 12% des ´el`eves qui ne sont pas vaccin´es l’ont eu. On peut donc en conclure que le vaccin est efficace.
6. Les arbres sont :
G¯ 0,75 V¯ 0,25 V
0,9
G 0,9 V¯ 0,1 G
0,1
V¯ 0,88 G¯ 0,12 G
0,76
V 0,96 G¯ 0,04 G
0,24
Exercice 5 : Algorithme (5 minutes) (2 points)
Une boulangerie fait un prix sur les croissants.
• Si on ach`ete moins de 10 croissants, on paye 1e par croissant.
• Si on en ach`ete 10 ou plus, les croissants coˆutent 0,9e. 1. Donner le prix de 8 croissants, puis de 12 croissants.
2. ´Ecrire la fonction prix qui prend en argument un nombre n et retourne le prix `a payer pour n croissants.
Solution:
1. Le prix de 8 croissants est 8 euros. Le prix de 12 croissants est 10,8 euros.
2. def prix (n ):
if n < 10:
p = n else :
p = 0.9 ∗ n
Seconde 12 DS 8 Page 3 de 3 return p
Exercice 6 : Question ouverte (5 minutes) (11/2 points)
f est une fonction dont la courbe est donn´ee ci-dessous.
Donner toutes les informations caract´eristiques sur cette fonction et sa courbe.
Solution:
On conjecture que :
• f(−0,5) = 0,f(0) = 1
• L’ensemble de d´efinition est ]− ∞;−1[∪]−1; +∞[
• La fonction est croissante sur ]− ∞;−1[ et croissante sur ]−1; +∞[
• La fonction est positive sur ]− ∞;−1[, n´egative sur ]− ∞;−0,5[ et positive sur ]−0,5; +∞[ ;
• La courbe est sym´etrique par rapport `a (−1; 2) ;
• La courbe ressemble `a une hyperbole que l’on a invers´e puis translat´e de −1 en abscisse et de 2 en ordonn´ee. La fonction repr´esentative pourrait ˆetre f(x) = 2− 1
x+ 1 (On peut mˆeme remarqu´e que dans ce casf(0) = 1 ce qui convient).
El`´ eves Gripp´es non Gripp´es
TOTAL
Vaccin´es non Vaccin´es
TOTAL 1470
