Terminale MS Suites Approche 1
La suite ( u n ) est définie par u 1 = 0 et u n + 1 = + 4 + 1 n un
n pour tout entier n ≥ 1.
La suite ( v n ) est définie par v n = n u n pour tout entier n ≥ 1.
1. A l’aide d’un tableur ou d’un algorithme, calculer les premiers termes des deux suites.
Conjecturer les variations et la limite de ces deux suites.
2. a. Déterminer la nature de la suite ( v n ).
b. Exprimer v n puis u n en fonction de n.
c. Justifier les conjectures de la question 1.
Terminale MS Suites Approche 2
La suite ( u n ) est définie par u 1 = 4 et u n + 1 =
2 ( + 1 ) n un
n pour tout entier n ≥ 1.
La suite ( v n ) est définie par v n = n u n pour tout entier n ≥ 1.
1. A l’aide d’un tableur ou d’un algorithme, calculer les premiers termes des deux suites.
Conjecturer les variations et la limite de ces deux suites.
2. a. Déterminer la nature de la suite ( v n ).
b. Exprimer v n puis u n en fonction de n.
c. Justifier les conjectures de la question 1.
Terminale MS Suites Approche 1
1. On conjecture que la suite ( v n ) est croissante de limite + ∞.
On conjecture que la suite ( u n ) est croissante de limite 4.
2.a. Pour tout entier n ≥ 1, v n + 1 = ( n + 1 ) u n + 1 donc v n + 1 = n u n + 4 donc v n + 1 = v n + 4.
On en déduit que la suite ( v n ) est arithmétique de raison 4.
2.b. • Pour tout entier n ≥ 1, v n = v 1 + 4 ( n – 1 ) donc v n = 4 n – 4.
• Pour tout entier n ≥ 1, n u n = 4 n – 4
donc u n = 4 – 4 n.
2.c. • La suite ( v n ) est arithmétique de raison strictement positive donc la suite ( v n ) est croissante
• La suite ( n ) a pour limite + ∞ donc la suite ( 4 n ) a pour limite + ∞ donc la suite ( 4 n – 4 ) a pour limite + ∞ donc la suite ( v n ) a pour limite + ∞.
• La suite ( 4
n ) est décroissante donc la suite ( – 4
n ) est croissante donc la suite ( 4 – 4
n ) est croissante donc la suite ( u n ) est croissante.
• La suite ( 4
n ) a pour limite 0 donc la suite ( – 4
n ) a pour limite 0 donc la suite ( 4 – 4
n ) a pour limite 0 donc la suite ( u n ) a pour limite 4.
Terminale MS Suites Approche 2
1. On conjecture que la suite ( v n ) est décroissante de limite 0.
On conjecture que la suite ( u n ) est décroissante de limite 0.
2.a. Pour tout entier n ≥ 1, v n + 1 = ( n + 1 ) u n + 1 donc v n + 1 =
2 n un
donc v n + 1 = 0,5 v n .
On en déduit que la suite ( v n ) est géométrique de raison 0,5.
2.c. • Pour tout entier n ≥ 1, v n = v 1 0,5 n – 1 donc v n = 4 0,5 n – 1 donc v n = 8 0,5 n. • Pour tout entier n ≥ 1, n u n = 8 0,5 n donc u n = 8
n 0,5 n. 2.c. • 0 < 0,5 < 1
donc la suite ( 0,5 n ) est décroissante donc la suite ( 8 0,5 n ) est décroissante donc la suite ( v n ) est décroissante.
• 0 < 0,5 < 1
donc la suite ( 0,5 n ) a pour limite 0 donc la suite ( 8 0,5 n ) a pour limite 0 donc la suite ( v n ) a pour limite 0.
• La suite ( 8
n ) est décroissante à termes positifs et la suite ( 0,5 n ) est décroissante à termes positifs donc, par produit, la suite ( u n ) est décroissante.
• La suite ( 8
n ) a pour limite 0 et la suite ( 0,5 n ) a pour limite 0
donc, par produit, la suite ( u n ) a pour limite 0.
Terminale MS Suites Approche 1
Avec un tableur
Dans la cellule A1, entrer n.
Dans la cellule B1, entrer u ( n ).
Dans la cellule C1, entrer v ( n ).
Dans la cellule A2, entrer 1.
Dans la cellule B2, entrer 0.
Dans la cellule C2, entrer = A2 * B2.
Dans la cellule A3, entrer = 1 + A2.
Dans la cellule B3, entrer = ( A2 * B2 + 4 ) / ( A2 + 1 ).
Dans la cellule C3, entrer = A3 * B3.
Sélectionner les cellules A3, B3, C3 puis recopier vers le bas.
Avec un algorithme et un script Python
Un algorithme Un script python
Saisir n u ← 0
Pour k variant de 1 à n v ← k u
Afficher k , u , v
u ← ( k u + 4 ) / ( k + 1 ) Fin Pour
def termes ( n ) : u = 0
for k in range ( 1 , n + 1 ) : v = k * u
print ( ( k , u , v ) )
u = ( k * u + 4 ) / ( k + 1 )
Les dix premiers termes des deux suites
n u ( n ) v ( n )
1 0 0
2 2 4
3 2,6666667 8
4 3 12
5 3,2 16
6 3,3333333 20
7 3,4285714 24
8 3,5 28
9 3,5555556 32
10 3,6 36
Terminale MS Suites Approche 2
Avec un tableur
Dans la cellule A1, entrer n.
Dans la cellule B1, entrer u ( n ).
Dans la cellule C1, entrer v ( n ).
Dans la cellule A2, entrer 1.
Dans la cellule B2, entrer 4.
Dans la cellule C2, entrer = A2 * B2.
Dans la cellule A3, entrer = 1 + A2.
Dans la cellule B3, entrer = ( A2 * B2 ) / ( 2 * A2 + 2 ).
Dans la cellule C3, entrer = A3 * B3.
Sélectionner les cellules A3, B3, C3 puis recopier vers le bas.
Avec un algorithme et un script Python
Un algorithme Un script python
Saisir n u ← 4
Pour k variant de 1 à n v ← k u
Afficher k , u , v
u ← ( k u ) / ( 2 k + 2 ) Fin Pour
def termes ( n ) : u = 4
for k in range ( 1 , n + 1 ) : v = k * u
print ( ( k , u , v ) ) u = ( k * u ) / ( 2 * k + 2 )
Les dix premiers termes des deux suites
n u ( n ) v ( n )
1 4 4
2 1 2
3 0,3333333 1
4 0,125 0,5
5 0,05 0,25
6 0,0208333 0,125
7 0,0089286 0,0625
8 0,0039063 0,03125
9 0,0017361 0,015625
10 0,0007813 0,0078125
