1. La suite définie par

(1)

Suites numériques – Exercices – Terminale S – G. A URIOL , Lycée Paul Sabatier

Suites numériques – Exercices

Révision sur les suites

1 Calculer les 4 premiers termes des suites suivantes et écrire un algorithme permettant de calculer .

1. La suite définie par

2. La suite définie par et pour .

3. La suite définie par et

pour .

4. La suite définie par , et pour .

2 On étudie deux contrats de travail.

 Contrat A : le salaire mensuel est de 1200€ au 1

^er

janvier 2015 et augmente de 70€ au premier janvier de chaque année.

 Contrat B : le salaire mensuel est de 1000€ au 1

^er

janvier 2015 et augmente de 8% au premier janvier de chaque année.

On note le salaire mensuel du contrat A et le salaire mensuel du contrat B, en l’année .

1. Calculer les 4 premiers termes de . Quelle est la nature de ? Donner le salaire mensuel en 2037 et calculer l’argent gagné entre janvier 2015 et décembre 2037.

2. Mêmes questions avec .

3 est la suite définie par et pour tout entier , . Soit .

1. Calculer puis , . 2. Démontrer que est arithmétique.

3. En déduire l’expression de , puis celle de , en fonction de .

Raisonnement par récurrence 4 Soit la suite définie par et

, . Montrer par récurrence que

,

5 (Importance de l’initialisation).

1. Montrer que les deux propositions « est un multiple de » et « est un multiple de » sont héréditaires.

2. Sont-elles vraies pour tout ?

6 On considère la suite définie par . 1. Calculer les 4 premiers termes.

2. Écrire un algorithme permettant de calculer et le programmer.

3. Émettre une conjecture sur l’expression de en fonc- tion de . La démontrer par récurrence.

7 (D’après bac juin 2013 Métropole). Soit la suite définie par et

1. Calculer les 5 premiers termes de la suite. Quelle con- jecture peut-on faire sur le sens de variation ?

2. a. Montrer que pour tout entier on a b. Montrer que pour tout entier on a

et en déduire le sens de variation de .

3. Montrer que la suite définie pour tout par est géométrique de raison . En déduire l’expression de en fonction de .

8 Soit la suite définie par et

1. Étudier les variations sur de la fonction définie par et en déduire que

2. En déduire : , . 9 Démontrer que pour entier naturel on a

10 Montrer que pour tout entier

11 (Récurrence forte). On définit la suite par

et

On veut montrer que pour tout entier on a

Pour tout , on considère pour la proposition « pour tout entier , ».

1. Montrer et sont vraies.

2. Montrer que est héréditaire à partir du rang et con- clure.

12 Pour tout entier naturel , on considère la propriété

1. Donner un entier pour lequel cette propriété est fausse.

2. Résoudre dans l’inéquation et en déduire que pour tout entier naturel on a,

3. Démontrer alors par récurrence que pour tout entier , la propriété est vraie.

Définition des limites de suites 14 Soit la suite définie par . 1. À partir de quel rang a-t-on ? 2. À partir de quel rang a-t-on ? 15 Soit la suite définie par . 1. À partir de quel rang a-t-on ? 2. À partir de quel rang a-t-on ? 16 Soit la suite définie par . 1. Pour quels rangs a-t-on ? 2. Montrer que

.

17 Vrai ou faux. Justifier.

a. Si à partir d’un certain rang, alors

. b. Si

, alors à partir d’un certain rang.

(2)

Suites numériques – Exercices – Terminale S – G. A URIOL , Lycée Paul Sabatier c. Toute suite divergeant vers est croissante à partir

d’un certain rang.

d. Si converge vers et si converge vers , alors à partir d’un certain rang .

e. Si converge vers et qu’à partir d’un certain rang on a , alors .

f. Toute suite à termes strictement positifs qui converge vers est décroissante.

Opérations sur les limites

18 Déterminer les limites des suites suivantes.

a. b.

c.

d.

19 Soit et les suites définies par et . 1. Déterminer la limite de .

2. Déterminer la limite de .

20 Déterminer les limites des suites suivantes.

a. b.

c. d.

e. f.

g.

h.

21 Vrai ou faux. Justifier.

a. Si

, alors

.

b. Si est une suite à termes strictement positifs telle que converge, alors elle est convergente.

c. Si est une suite convergente et une suite di- vergente, alors est une suite divergente.

d. Si converge vers un réel et si

alors

.

22 On souhaite étudier la convergence de . 1. Justifier que pour tout ,

a.

b.

2. On pose et . On suppose que a une limite .

a. De la relation 1.b. déduire que converge et pré- ciser sa limite.

b. Déduire alors de 2.a. que .

c. En considérant montrer que . d. Conclure que ni , ni ne converge.

Théorèmes de comparaison

23 Déterminer les limites des suites suivantes.

a. b.

c. d.

e. f.

24 Vrai ou faux ? Justifier.

a. Si pour tout et si converge, alors

.

b. Toute suite vérifiant (pour tout converge vers un réel .

c. Si et pour tout et si converge vers , alors et convergent vers . 25 Soit la suite définie par

et pour tout . 1. Montrer par récurrence que et déterminer la

limite de .

2. Démontrer que pour tout entier ,

.

Limite d’une suite géométrique

26 Déterminer les limites des suites suivantes.

a. b.

c. d.

27 Déterminer les limites des suites suivantes.

a. b.

c. d.

28 Déterminer les limites des suites suivantes.

a.

b.

29 Soit la suite définie par

et pour tout .

1. a. Développer puis démontrer l’inégalité

valable pour tout . b. Montrer que pour tout entier , . 2. Déterminer la limite de .

30 On considère la suite définie par et pour tout . 1. Montrer que pour tout , . 2. Montrer que pour tout ,

. 3. En déduire que converge et préciser sa limite.

4. Écrire et programmer un algorithme qui demande en entrée un réel avec et qui renvoie le plus petit entier tel que

31 Soit la suite définie par

et pour tout . 1. Afficher les premiers termes de sur la calcula-

trice. Quelle semble être la limite de ?

2. Démontrer que pour tout entier , 3. Démontrer la conjecture de la question 1.

Convergence des suites monotones 32 Vrai ou faux ? Justifier.

a. Si

alors la suite n’est pas bornée.

b. Toute suite croissante est minorée.

c. Si pour tout , , alors est une suite convergente

33 Soit la suite la suite définie par

et pour .

(3)

Suites numériques – Exercices – Terminale S – G. A URIOL , Lycée Paul Sabatier 1. Si la suite converge, quelles sont les valeurs possibles

de sa limite ?

2. Montrer que pour tout . 3. Étudier les variations de .

4. Prouver que converge et déterminer sa limite.

34 Soit la suite définie par

1. Montrer que pour tout , on a

2. Montrer par récurrence sur que . 3. Montrer alors que est convergente. Que peut-on

dire de sa limite ?

35 Soit un entier supérieur ou égal à . On considère l’équation .

1. En étudiant la fonction montrer que l’équation admet une unique solution dans .

2. Calculer et . Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée à de et .

3. Montrer que et en déduire le sens de variation de puis démontrer qu’elle converge.

4. Montrer que pour tout ,

et en déduire la limite de .

Problèmes

36 Sur une droite munie d’un repère , on consi- dère la suite de point ainsi définie :

 est le point ;

 est le point d’abscisse ;

 est le milieu du segment pour tout .

On note l’abscisse de .

1. En prenant cm comme unité, représenter les points pour et calculer les correspondants.

2. Justifier l’égalité :

pour tout . 3. Montrer que pour tout .

4. Soit . Montrer que la suite est géomé- trique.

5. En déduire la limite de puis celle de . 37 Soit la suite définie par

et pour tout . 1. Démontrer que pour tout entier , on a . 2. On considère l’algorithme ci-dessous.

Saisir

prend la valeur prend la valeur Tant que

prend la valeur prend la valeur Fin Tant que

Afficher

a. Programmer l’algorithme suivant et l’exécuter avec , et .

b. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de ?

c. Montrer que pour tout .

d. En déduire la limite de . 3. On pose .

a. Démontrer que est géométrique.

b. Démontrer que pour tout , . c. Vérifier que où est une suite

géométrique et une suite arithmétique dont on précisera les raisons et les premiers termes.

d. En déduire l’expression de en fonc- tion de .

38 (2012, Polynésie). On considère la suite définie par et, pour tout , 1. Calculer et .

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier aturel , .

b. En déduire la limite de la suite . 3. Démontrer que la suite est croissante.

4. Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par

a. Démontrer que la suite est une suite géomé- trique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel , 5. Soit un entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier tel que, pour tout on ait ? On s’intéresse maintenant au plus petit entier . b. Justifier que .

c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier pour la valeur .

d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier tel que, pour tout , on ait

.

39 (2013, Nouvelle-Calédonie). Soient deux suites et définies par et et

et

pour tout . Partie A

On considère l’algorithme ci- contre.

On exécute cet algorithme en saisissant .

Recopier et compléter le ta- bleau ci-dessous donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.

Partie B

1. a. Montrer que pour tout entier naturel ,

b. On pose . Montrer que pour tout entier naturel , .

2. a. Démontrer que la suite est croissante et que la suite est décroissante.

b. Déduire des résultats des questions 1.b. et 2.a. que pour tout entier naturel on a et . c. En déduire que les suites et sont conver-

gentes.

Affecter à Affecter à Affecter à Saisir

Tant que

Affecter à

Fin tant que

Afficher ,

(4)

Suites numériques – Exercices – Terminale S – G. A URIOL , Lycée Paul Sabatier

A B C

1 2 (valeurs exactes)

(valeurs approchées)

3 0 0 0

4 1 1/2 0,5

5 2 2/3 0,6667

6 3 3/4 0,75

7 4 4/5 0,8

8 5 5/6 0,8333

9 6 6/7 0,8571

10 7 7/8 0,875

11 8 8/9 0,8889

12 9 9/10 0,9

13 10 10/11 0,9091

A B C

1 2 0 1 1

3 1 5 2

4 2 12 4

5 3 25 8

6 4 50 16

… … … …

12 10 3080 1024 13 11 6153 2048 14 12 12298 4096 15 13 24587 8192 3. Montrer que les suites et ont la même limite.

4. Montrer que la suite définie par est constante.

En déduire que la limite commune des suites et est .

40 (2017, Pondichéry). On considère deux suites et :

 la suite définie par et pour tout entier natu- rel , ;

 la suite définie, pour tout , par . Partie A – Conjectures

Florent a calculé les pre- miers termes de ces deux suites à l’aide d’un ta- bleur. Une copie d’écran est donnée ci-contre.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Conjecturer les limites des suites et . Partie B – Étude de la suite

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a .

2. Déterminer la limite de la suite .

3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supé- rieur à 1 million.

Partie C – Étude de la suite

1. Démontrer que la suite est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier supérieur ou égal à 4, on a . Déterminer la limite de la suite . 41 (2016, métropole). On considère les nombres com- plexes définis pour tout entier par la donnée de , où est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence :

.

1. a. Dans cette question, on suppose que . Déter- miner les nombres , , , , , et .

b. Dans cette question, on suppose que . Déter- miner les nombres , , , , , et . c. Dans cette question on revient au cas général où

est un complexe donné.

Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par

selon les valeurs de ? Prouver cette conjecture.

2. Déterminer dans le cas où .

3. Existe-t-il des valeurs de tel que ? Que peut- on dire de la suite dans ce cas ?

42 (2013, Antilles-Guyane). On considère la suite à termes complexes définie par et, pour tout entier naturel , par

.

Pour tout entier naturel , on pose : , où et sont réels.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites et .

Partie A 1. Donner et .

2. Calculer , puis en déduire que et . 3. On considère l’algorithme suivant :

Affecter à la valeur Affecter à la valeur Entrer la valeur de Pour variant de à Affecter à la valeur Affecter à la valeur FinPour

Afficher

a. On exécute cet algorithme en saisissant . Compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à près).

b. Pour un nombre donné, à quoi correspond la va- leur affichée par l’algorithme par rapport à la situa- tion étudiée dans cet exercice ?

Partie B

1. Pour tout , exprimer en fonction de et . En déduire les expressions de et en fonction de et .

2. Quelle est la nature de la suite ? En déduire l’expression de en fonction de , et déterminer la li- mite de .

3. a. On rappelle que pour tous nombres complexes et on a (inégalité triangulaire).

Montrer que pour tout , . b. Pour tout entier naturel , on pose .

Montrer par récurrence que, pour tout ,

En déduire que la suite converge vers une li- mite que l’on déterminera.

c. Montrer que, pour tout entier naturel , . En déduire que la suite converge vers une li- mite que l’on déterminera.

43 (2017, Nouvelle- Calédonie). On con- sidère la suite définie par



pour tout entier

On obtient ci-contre à l’aide d’un ta- bleur les premiers termes de la suite.

Prouver que la suite

converge.