J155. Comment changer les + en – ****
Problème proposé par Raymond Bloch
Chaque case d’un quadrillage 100 × 100 contient un signe plus (+).
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ?
Solution proposée par Michel Lafond Réponse NON.
Supposons qu’on ait inversé tous les signes de a colonnes et de b lignes.
[a = 3 et b = 4 sur la figure ci-dessus]
On suppose évidemment qu’une rangée quelconque a été changée au plus une fois.
Aux ab intersections le signe + a été changé deux fois, on retrouve donc un signe +.
Le nombre total de signes – obtenus est donc
On voudrait
a ou b doit être multiple de 5, par symétrie posons a = 5 α.
(1) devient
(2) s’écrit Mais Ainsi
Mais alors a tiré de (1) appartiendrait à {795, 1540, – 1440, – 695} et aucune de ces valeurs ne convient.
Il est impossible d’obtenir exactement 2020 signes (–).
Le mieux que l’on puisse faire est d’obtenir 2024 signes (–) avec par exemple a = 2 et b = 19.
b
a
