J155. Comment changer les + en

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J155. Comment changer les + en – ****

Problème proposé par Raymond Bloch

Chaque case d’un quadrillage 100 × 100 contient un signe plus (+).

On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.

Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?

Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ?

Solution proposée par Michel Lafond Réponse NON.

Supposons qu’on ait inversé tous les signes de a colonnes et de b lignes.

[a = 3 et b = 4 sur la figure ci-dessus]

On suppose évidemment qu’une rangée quelconque a été changée au plus une fois.

Aux ab intersections le signe + a été changé deux fois, on retrouve donc un signe +.

Le nombre total de signes – obtenus est donc

On voudrait

a ou b doit être multiple de 5, par symétrie posons a = 5 α.

(1) devient

(2) s’écrit Mais Ainsi

Mais alors a tiré de (1) appartiendrait à {795, 1540, – 1440, – 695} et aucune de ces valeurs ne convient.

Il est impossible d’obtenir exactement 2020 signes (–).

Le mieux que l’on puisse faire est d’obtenir 2024 signes (–) avec par exemple a = 2 et b = 19.

b

a

Figure

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