J155 – Comment changer les + en – [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus (+).
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ? Solution proposée par Daniel Collignon
Le signe d'une case dépend uniquement de la parité du nombre d'inversions des rangées la portant. L'ordre ne compte donc pas, et par souci d'économie, il est inutile d'inverser 2 fois une rangée.
Comme 2020 n'est pas un multiple de 100, si cela était possible, alors il y aurait l lignes et c colonnes inversées exactement 1 fois, avec 1=<l=<100 et 1=<c=<100.
D'où la relation l(100-c)+c(100-l)=2020 exprimant le nombre total de signes "-".
Elle peut s'écrire aussi (l-50)(c-50)=1490=2*5*149.
Le facteur 149 rend la factorisation impossible.
