Changer les + en -
Supposons pour commencer que l’on ne puisse inverser qu’une seule fois une ligne ou une colonne donnée.
On notelle nombre de lignes inversées (disons, sans perte de généralité, leslpremières) etcle nombre de colonnes inversées (disons, sans perte de généralité, les c premières). Le tableau est alors composé en bas à gauche d’un rectangle(100−l)×cde signes−et en haut à droite d’un rectanglel×(100−c) de signes −, tous les autres signes du tableau étant des+.
Le nombre total de signes −est alors100(l+c)−2lc.
L’équation 100(l+c)−2lc = 2020 admet-elle des solutions entières et si c’est le cas, quelle est celle qui est telle que la sommel+c soit minimale ?
Un algorithme en Python nous fournit la réponse (pour 0 6 l, c 6 100, les rôles de l et c étant symétriques).
for l in range(101) : for c in range (l,101) :
if 100*(l+c)-2*l*c == 2020 : print l,c
Cette équation n’admet aucune solution pour 0 6l, c6100: on ne peut donc obtenir 2020 signes− avec des inversions uniques.
Maintenant, il est facile de voir que le problème général (avec des inversions à volonté) se ramène en réalité au problème des inversions uniques.
Commençons par inverserllignes, puisccolonnes. Le tableau est alors composé en haut à gauche d’un rectangle l×cde signes +et en bas à droite d’un rectangle(100−l)(100−c) de signes+.
Inversons maintenant une ligne : soit il s’agit d’une ligne qui n’a pas encore été inversée (disons, sans perte de généralité, la l+ 1ème), mais dans ce cas on se retrouve avec un tableau similaire à celui précédemment décrit (composé en haut à gauche d’un rectangle (l+ 1)×c de signes + et en bas à droite d’un rectangle (100−l−1)(100 −c) de signes +), soit il s’agit d’une ligne déjà inversée précédemment (disons, sans perte de généralité, lalème), mais dans ce cas on se retrouve aussi avec un tableau similaire à celui précédemment décrit (composé en haut à gauche d’un rectangle (l−1)×c de signes+et en bas à droite d’un rectangle(100−l+ 1)(100−c) de signes +).
Conclusion : Toutes les inversions effectuées donnent des tableaux identiques à celui obtenu dans le cas où l’on se contente d’inverser une fois certaines lignes et une fois certaines colonnes : il n’est pas possible d’obtenir 2020signes−.
La solution la plus proche est 2024 signes − que l’on peut obtenir avec 21 inversions : 2 lignes et 19 colonnes.
