En effet, si S=a/b+b/a, on peut supposer (quitte `a simplifier les fractions par P GCD(a, b)) a et b premiers entre eux

Enonc´e n^oA458 (Diophante)

On s’int´eresse aux suites de n entiers positifs tous diff´erents entre eux a₁, a₂, . . . , a_i, . . . , a_n tels que la somme

S = a1

a2

+a2

a3

+. . .+ ai

ai+1

+. . .+an

a1

est ´egale `a un nombre entier.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1

Pour quelles valeurs de n, de telles suites existent-elles ?

C’est impossible pour n= 2. En effet, si S=a/b+b/a, on peut supposer (quitte `a simplifier les fractions par P GCD(a, b)) a et b premiers entre eux. Alors S+ 2 = (a+b)²/(ab), fraction irr´eductible, car num´erateur et d´enominateur sont premiers entre eux.

C’est possible pour tout n >2.

Si nest impair, on peut prendreai = 2ⁱ⁻¹ et alorsS = (2ⁿ+n−1)/2.

Si n est pair > 2, on peut prendre ai = 3ⁱ⁻¹ pour i = 1 `a 4, puis ai = 27·2<sup>i−4</sup> pouri= 4 `a n; alorsS= 27·2ⁱ⁻⁴−1 +n/2.

Question 2

Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle le produit des termes a₁×a₂×. . .×a_n est toujours un cube ?

Cette propri´et´e n’est pas toujours vraie pour n= 4 (par exemple avec la suite 4, 3, 18, 6 qui donne S= 6). Mais elle est vraie pour n= 3.

Soit en effet a/b+b/c+c/a=S entier.

On peut supposer (quitte `a diviser les termss par leur PGCD) quea, b, c sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Soit d = P GCD(b, c), e = P GCD(c, a), f = P GCD(a, b), ces trois nombres sont premiers entre eux deux `a deux.

Alors a, divisible par e et f, est divisible par ef et a = ef g. De mˆeme b=f dh etc =dei; g est premier avec b/f =dh et c/e=di; autrement dit, g, h, i sont premiers entre eux deux `a deux, g est premier avec d, h avec e,iavec f.

On a alors

eg/(dh) +f h/(ei) +di/(f g) =S entier.

Le facteurg, au d´enominateur de la 3e fraction, ne peut se simplifier avec le num´erateurdi; il est premier avecdh, c’est donc dans la fractionf h/(ei) que l’on doit retrouvergau d´enominateur, et commeg est premier aveci, on ae=gg⁰ avec g⁰ entier. De la mˆeme fa¸conf =hh⁰ etd=ii⁰.

La conditionS entier devient

g²g⁰/(hii⁰) +h²h⁰/(igg⁰) +i²i⁰/(ghh⁰) =S entier, ou g³g⁰²h⁰+h³h⁰²i⁰+i³i⁰²g⁰−Sghig⁰h⁰i⁰ = 0.

Commei⁰ divise tous les termes sauf le premier, avec lequel il est premier, il fauti⁰ = 1 et de mˆeme g⁰ =h⁰= 1.

Ainsi d = i, e = g, f = h puis a = g²h, b = h²i, c = i²g, et finalement abc= (ghi)³.

Il faut de plusg³+h³+i³=Sghi.

Exemples :

(g, h, i) = (1,1,2), S = 5 = 1/2 + 2/4 + 4/1,

(g, h, i) = (1,2,3), S = 6 = 2/12 + 12/9 + 9/2, mais aussi (g, h, i) = (1,3,2), S = 6 = 3/18 + 18/4 + 4/3.

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Question 3

Quelle est la plus petite valeur s de S? Quelles sont les valeurs de nqui permettent d’obtenir s?

On obtient S= 5 avec S = 1/2 + 2/4 + 4/1,n valant 3.

D’autre part les n fractions de somme S ont 1 pour produit et pour moyenne g´eom´etrique, et ce sont des r´eels positifs diff´erant de 1 ; ainsi leur moyenne arithm´etique est strictement sup´erieure `a leur moyenne g´eom´etrique etS > n.

Donc si s <5, c’est qu’on a pu obtenir s= 4 avec n= 3. Cela conduit `a discuter l’´equationa/b+b/c+c/a= 4.

Comme on l’a vu `a la question 2, cela revient `a r´esoudre g³+h³+i³ = 4ghi.

Cette ´equation repr´esente une surface dans l’espace (g, h, i), et il s’agit d’y trouver des points `a coordonn´ees enti`eres. L’´equation ´etant homog`ene, on peut ramener la question `a trouver des points rationnels sur une cubique plane (voir pr´ecisions en annexe). Mais je n’ai pas trouv´e de solution non triviale (ghi 6= 0), et une recherche par tˆatonnements m’a permis de voir qu’il n’en existait pas avec min(g, h, i) < 26. Ainsi, s’il existe une suite a, b, c donnants= 4, ses termes sont>16250.

Quant `a obtenirS = 5, ce ne peut ˆetre qu’avecn= 3 oun= 4.

On a vu la solution (1,2,4) pour n = 3. Pour le cas n = 4, je n’ai pas trouv´e de solution, sans pouvoir affirmer qu’il n’en existe pas.

Question 4

Trouver une suite (si possible la plus courte) telle que S= 2009.

On peut obtenir S= 2009 avec la suite de 13 termes 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 1280, 320, 800, 2000, car

S = 1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/5+4+2/5+2/5+2000.

Annexe `a la question 3

Discussion de l’´equationg³+h³+i³ = 4ghi.

1) Passage `a une courbe (x, y)

Posonsg=xi, h=yi, il vient x³+y³+ 1 = 4xy.

C’est l’´equation d’une cubique du plan (x, y), ayantx+y= 0 comme seule direction asymptotique, et sym´etrique par rapport `a la droite x=y. Elle coupe les axes en (−1,0) et (0,−1).

Soitx=u+v, y=u−v. L’´equation devient 2u³−4u²+ 1 + 2v²(3u+ 2) = 0,

mettant en ´evidence l’asymptoteu=−2/3.

Soitw=v/(3u+ 2), t=−u/(3u+ 2). On a 1 + 3t= 2/(3u+ 2), puis w²=t³+t²(1 + 3t)−(1 + 3t)³/16 = (37t³−11t²−9t−1)/16.

On obtient la forme canoniqueY² =X³+AX+B, avecA etB entiers, en posant

Y = 3996w= 3996v

3u+ 2 = 3996 x−y

3x+ 3y+ 4= 3996 g−h 3g+ 3h+ 4i

X= 333t−33 = −432u−66

3u+ 2 = −432(x+y)−132

3(x+y) + 4 = −432g−432h−132i 3g+ 3h+ 4i etA= 30240,B = 1959984.

Les points `a coordonn´ees enti`eres X = 300, Y = ±3996, sont des points d’inflexion de la cubique, ce qui ne permet pas d’en d´eduire d’autres points

`

a coordonn´ees rationnelles par le proc´ed´e classique `a partir des tangentes en ces points. Je suppose qu’il n’en existe pas mais je n’en ai pas de d´emonstration.

Cela correspond `a l’´etat des connaissances il y a une quarantaine d’ann´ees : on lit dans “250 probl`emes de th´eorie ´el´ementaire des nombres”, par W. Sierpinski, Hachette Universit´e 1972, en remarque sur la solution 2

du probl`eme 5/181, que pour s = 4 “on ne sait pas si l’´equation a/b+b/c+c/a=sadmet des solutions”. Il se peut que les progr`es obtenus depuis par les nombreux travaux sur les courbes elliptiques permettent de r´epondre sans ambigu¨ıt´e `a la question de l’existence de points rationnels hors de ces points d’inflexion.

2) Recherche par tˆatonnements

Pour limiter le nombre de triplets (g, h, i) `a essayer, j’ai proc´ed´e `a un filtrage pr´ealable bas´e sur l’analyse suivante.

a) Si g < h < i, le rapport i/g <2.

En effet, (g³+h³+i³)/ghiest une fonction de h qui d´ecroˆıt pour g³ < h³ <(g³+i³)/2, passe par un minimum dont le cube vaut (27/4)((i/g)³+ 2 + (g/i)³),

puis croˆıt pour (g³+i³)/2< h³< i³.

Pour i/g ≥ 2, ce cube du minimum > 270/4 > 4³, et l’´equation est impossible.

b) Pour queg³+h³+i³ soit pair, il faut que deux des entiersg, h, isoient impairs, le 3e ´etant pair. Si par exemplei est pair,

(g³+h³)/(g+h) =g²−gh+h² est impair,

donc g+h est divisible par la mˆeme puissance de 2 que i(4gh−i²) = 8(i/2)(gh−(i/2)²).

Quei/2 soit pair ou impair,g+hest multiple de 16 au moins. Alorsgh+ 1 est multiple de 8, et on a la r`egle suivante :

(g+h)/16 impair ⇐⇒i/2 ou i/4 impair,

(g+h)/2^r impair ⇐⇒i/2^r−2 impair pourr >4.

On peut alors passer en revue les triplets (g, h, i) class´es par min(g, h, i).

J’ai v´erifi´e qu’il n’y a pas de solution pour min(g, h, i) < 26. Ainsi, s’il existe une suite a, b, cdonnants= 4, ses termes sont>16250.

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