Enonc´e A468 (Diophante)
Un parall´el´epip`ede rectangle, dont la hauteur est ´egale `a la diagonale du rectangle de base, est exactement constitu´e par des d´es cubiques de 1cm de cˆot´e. La surface du rectangle de base est ´egale au produit de 311850 par un nombre premier inconnu. Calculer la hauteur du parall´el´epip`ede.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Il s’agit de r´esoudre, avecp premier eta, b, c entiers, les ´equations a2+b2=c2, ab= 311850p.
La premi`ere se r´esout classiquement en simplifiant la fraction
(c−a)/b = b/(c+a) = m/n, irr´eductible. On peut y supposer (quitte `a
´echanger a et b) que m et n, premiers entre eux, sont de parit´e contraire.
On en tire ensuite
a
n2−m2 = b
2mn = c
m2+n2 =d, entier, car les d´enominateurs sont premiers entre eux.
On est donc ramen´e `a r´esoudre
2mn(n−m)(n+m)d2 = 311850p= 2·34·52·7·11·p.
Commemounest pair, on a besoin de facteurs 2 suppl´ementaires au second membre, qui ne peuvent venir que dep, donc p= 2.
Il reste `a trouvermetnv´erifiantmn(n−m)(n+m)d2= 311850, ou encore mn(n−m)(n+m) = 2·7·11(45/d)2, o`u les facteursm,n,n−metn+m sont deux `a deux premiers entre eux,n+m ´etant le plus grand. L’entier d doit ´evidemment ˆetre 45 ou un diviseur de 45.
J’observe d’abord que, parmi les facteursm,netn−m, au plus 1 vaut 1 ou 2, sinon le premier membre vaut 6 ou 30 et ne peut donnerdentier. Ainsi le produit mn(n−m)/2 a au moins deux facteurs > 1 premiers entre eux et premiers avecn+m. Dans chaque facteur, 3 et 5 ont des exposants pairs.
On peut alors lister les possibilit´es pour n+m et n−m (tableau page suivante), d’o`u n et m comme demi-somme et demi-diff´erence, et on voit facilement si cela peut donner `a dune valeur enti`ere.
On voit apparaˆıtre les deux solutions,
d = 3, m = 7, n = 18, a = 825, b = 756, c = 1119, qui est la solution du probl`eme du Pharaon (A467), et
d= 15, m= 2, n= 9, a= 1155, b= 540, c= 1275.
La hauteur cherch´ee est donc soit 1119 cm, soit 1275 cm.
1
n+m n−m n, m d 2025 = 34.52 11 1018,1007
7 1016,1009 1 1013,1012 891 = 34.11 25 458,433
7 449,442 1 446,445 567 = 34.7 25 296,271 11 289,278 1 284,283 275 = 52.11 81 178,97
9 142,133 7 141,134 1 138,137 225 = 32.52 11 118,107 7 116,109 1 113,112 175 = 52.7 81 128,47
11 93,82
9 92,83
1 88,87
99 = 32.11 25 62,37
7 53,46
1 50,49
81 = 34 77 79,2 25 53,28 11 46,35
7 44,37
1 41,40
77 = 7.11 25 51,26
9 43,34
1 39,38
63 = 32.7 25 44,19 11 37,26
1 32,31
25 = 52 11 18,7 3
9 17,8
7 16,9
1 13,12
11 9 10,1
7 9,2 15
1 6,5
2
