A10168. Le d´ efi de Saint-Ex
Un parall´el´epip`ede rectangle dont la hauteur est ´egale `a la diagonale du rectangle de base est exactement constitu´e de d´es cubiques de 1 cm de cˆot´e. La surface du rectangle de base est ´egale au produit de 311850 par un nombre premier inconnu. Calculer la hauteur du parall´el´epip`ede.
Note historique.
Ce probl`eme a ´et´e propos´e par Antoine de Saint-Exup´ery `a Max Gel´ee, lui aussi pilote des Forces Fran¸caises Libres, le 15 juillet 1944, en le mettant au d´efi de le r´esoudre en moins de 3 jours et 3 nuits blanches.
On a pu croire perdu ce “probl`eme Gel´ee de th´eorie des nombres” (trans- form´e par la rumeur en “th´eorie des nombres gel´es de Saint-Exup´ery” !), mais Max Gel´ee avait pris soin d’en d´eposer le manuscrit `a l’Ecole de l’Air, o`u il a ´et´e retrouv´e par L.-G. Vidiani apr`es trois ans et huit mois de
“traque” opiniˆatre.
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Solution
Il s’agit de r´esoudre, avec p premier eta, b, c entiers, les ´equations a2+b2 =c2, ab= 311850p.
La premi`ere se r´esout classiquement en consid´erant la fraction irr´eductible m/n = (c−a)/b = b/(c+a). On peut y supposer (quitte `a ´echanger a et b) que m etn, premiers entre eux, sont de parit´e contraire. On en tire ensuite
a
n2−m2 = b
2mn = c
m2+n2 = d, entier, car les d´enominateurs sont premiers entre eux.
On est donc ramen´e `a r´esoudre
2mn(n−m)(n+m)d2 = 311850p= 2.34.52.7.11.p.
Comme m ou n est pair, on a besoin de facteurs 2 suppl´ementaires au second membre, qui ne peuvent venir que de p, doncp= 2.
Il reste `a trouvermet nv´erifiant
mn(n−m)(n+m)d2 = 311850, ou encore
mn(n−m)(n+m) = 2.7.11(45/d)2, o`u les facteursm,n,n−metn+m sont deux `a deux premiers entre eux, n+m´etant le plus grand. L’entier ddoit ´evidemment ˆetre 45 ou un diviseur de 45.
J’observe d’abord que, parmi les facteurs m,n et n−m, au plus 1 vaut 1 ou 2, sinon le premier membre vaut 6 ou 30 et ne peut donner dentier.
Ainsi le produitmn(n−m)/2 a au moins deux facteurs>1 premiers entre eux et premiers avecn+m. Dans chaque facteur, 3 et 5 ont des exposants pairs.
On peut alors lister les possibilit´es pour n+m etn−m.
De chacun des 41 couples (n+m, n−m), on tire n et m comme demi- somme et demi-diff´erence, et on voit facilement si cela peut donner `a d une valeur enti`ere. On constate, avec un tableau analogue au suivant, que pour n+m >25 (34 couples) il n’y a pas de solution. Reste `a examiner n+m= 25 ou 11 :
n+m n−m possibles 2025 = 34.52 11,7,1
891 = 34.11 25,7,1 567 = 34.7 25,11,1 275 = 52.11 81,9,7,1 225 = 32.52 11,7,1
175 = 52.7 81,11,9,1 99 = 32.11 25,7,1
81 = 34 77,25,11,7,1 77 = 7.11 25,9,1 63 = 32.7 25,11,1
25 = 52 11,9,7,1
11 9,7,1
n+m n−m n, m d 25 = 52 11 18,7 3
9 17,8 7 16,9 1 13,12
11 9 10,1
7 9,2 15
1 6,5 On voit apparaˆıtre les deux solutions,
d= 3, m= 7, n= 18, a= 825, b= 756, c= 1119, et d= 15, m= 2, n= 9, a= 1155, b= 540, c= 1275.
La r´eponse `a Saint-Ex est donc “La hauteur peut prendre deux valeurs, 1119 cm et 1275 cm”. L’histoire ne dit pas si Max Gel´ee l’a trouv´ee `a l’´epoque.
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