E125. Le possible et l'impossible
On définit la relation de récurrence pn = [2{an + b}] dans laquelle n prend les valeurs entières 0,1,2,3...., a et b sont deux nombres réels, {x} et [y] désignent respectivement la partie décimale de x et la partie entière de y. On obtient ainsi une suite S composée exclusivement de 0 et de 1.
Q1 Montrer qu’en choisissant a et b de manière adéquate, on sait trouver dans S une chaîne quelconque de quatre termes consécutifs choisis parmi les 16 quadruplets possibles constitués de 0 et de 1.
Q2 Montrer qu’après avoir choisi a et b une fois pour toutes, il est impossible de trouver dans S les 16 chaînes possibles de quatre termes constitués de 0 et de 1.
Q3 Montrer que quel que soit le choix de a et de b, il est impossible de trouver dans S une certaine chaîne de cinq termes consécutifs que l’on déterminera.
De l'approximatif avec l'aide de la calculatrice…
• Q1 Montrer qu’en choisissant a et b de manière adéquate, on sait trouver dans S une chaîne quelconque de quatre termes consécutifs choisis parmi les 16 quadruplets possibles constitués de 0 et de 1.
La calculatrice dit que cela peut dépendre de la première décimale de a et b.
Pour obtenir une des 16 séquences (0000 à 1111), il suffit de choisir la décimale de a et celle de b dans le joli tableau suivant, et peu importe la valeur entière de a ou b (tous les quadruplets y sont présents, et correspondent à , ଵ, ଶ, ଷ).
Et à droite le même tableau avec la valeur décimale de chaque chaine, considérée comme un nombre binaire (c'est plus facile à lire).
a↓ b→ .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9
.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 15 15 15 15 15 .1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3 7 15 15 14 12 8 .2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 3 7 6 14 12 12 8 9 .3 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 3 2 6 6 4 12 13 9 9 11 .4 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 6 4 5 5 13 9 11 10 10 .5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 .6 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 5 5 4 6 2 10 10 11 9 13 .7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 4 6 6 2 3 11 9 9 13 12 .8 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 6 7 3 3 1 9 8 12 12 14 .9 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 7 3 1 0 0 8 12 14 15 15
• Q2 Montrer qu’après avoir choisi a et b une fois pour toutes, il est impossible de trouver dans S, les 16 chaînes possibles de quatre termes constitués de 0 et de 1.
Toujours en fonction de la première décimale, voici la table (en décimal) des séquences trouvées : jamais les 16.
Et rajouter des décimales (centième, millième, …) n'y change rien.
a
↓ b
→ .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9
.0 0 0 0 0 0 15 15 15 15 15
.1 0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15 .2 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 .3 2, 3, 4, 6, 9,
11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13 .4 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13
.5 5, 10 5, 10 5, 10 5, 10 5, 10 5, 10 5, 10 5, 10 5, 10 5, 10
.6 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 2, 4, 5, 9, 10 5, 6, 10, 11, 13 .7 2, 3, 4, 6, 9,
11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13 .8 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 1, 3, 6, 8, 12 3, 7, 9, 12, 14 .9 0, 1, 3, 7, 8,
12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15
Ou, classé par séquences, en fonction des décimales possibles :
séquence a b
.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9
0 x x x x x x
15 x x x x x x
0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15 x x x x x x x x x x x x
1, 3, 6, 8, 12 x x x x x x x
3, 7, 9, 12, 14 x x x x x x x
2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13 x x x x x x x x x x x x
2, 4, 5, 9, 10 x x x x x x x
5, 6, 10, 11, 13 x x x x x x x
5, 10 x x x x x x x x x x x
La calculatrice n'a pas trouvé pour a et b donnés les 16 séquences : mais cela ne signifie pas grand-chose, sinon rien du tout.
• Q3 Montrer que quel que soit le choix de a et de b, il est impossible de trouver dans S une certaine chaîne de cinq termes consécutifs que l’on déterminera.
La calculatrice ne trouve pas la chaine 1 1 1 0 1.
La position est la valeur n ሺሻ de la suite S, à partir de laquelle on trouve la chaine.
La colonne 'décimal' est la conversion de la chaine considérée comme un nombre binaire.
a b chaine décimal position a b chaine décimal position 0.00 0.00 0 0 0 0 0 0 0 0.01 -0.54 1 0 0 0 0 16 3 0.01 0.46 0 0 0 0 1 1 0 0.16 0.86 1 0 0 0 1 17 0 0.28 -0.12 0 0 0 1 0 2 0 0.28 0.88 1 0 0 1 0 18 0 0.01 0.46 0 0 0 1 1 3 1 0.17 0.82 1 0 0 1 1 19 1 0.26 0.22 0 0 1 0 0 4 0 0.34 0.64 1 0 1 0 0 20 1 0.34 0.14 0 0 1 0 1 5 0 0.41 0.86 1 0 1 0 1 21 0 0.17 0.32 0 0 1 1 0 6 0 0.26 0.46 1 0 1 1 0 22 2 0.01 0.46 0 0 1 1 1 7 2 0.76 -0.54 1 0 1 1 1 23 0 0.78 -0.12 0 1 0 0 0 8 0 0.01 -0.54 1 1 0 0 0 24 2 0.26 0.22 0 1 0 0 1 9 1 0.17 0.82 1 1 0 0 1 25 0 0.38 0.48 0 1 0 1 0 10 0 0.34 0.64 1 1 0 1 0 26 0 0.34 0.14 0 1 0 1 1 11 1 0.26 0.46 1 1 0 1 1 27 1 0.17 0.32 0 1 1 0 0 12 1 0.01 -0.54 1 1 1 0 0 28 1
0.26 0.46 0 1 1 0 1 13 0 29
0.13 0.48 0 1 1 1 0 14 0 0.01 -0.54 1 1 1 1 0 30 0 0.01 0.46 0 1 1 1 1 15 3 0.00 -1.00 1 1 1 1 1 31 0
