Montrer par récurrence que ∀n∈N, un≥0

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 3 16 octobre 2014

Exercice I. (principale : T)

Calculer, en utilisant les formules du cours, la somme S =

10

X

k=2

3k²+ 2^k−1 .

Exercice II. (principales : T,C)

1. Soit(u_n)n∈N la suite dénie par u₀ = 1, et ∀n∈N, u_n+1 = 1 u_n+ 2. Montrer par récurrence que ∀n∈N, un≥0.

2. Montrer par récurrence que ∀n∈N^∗,

n

X

k=1

k.2^k−1 = (n−1).2ⁿ+ 1.

Exercice III. (principale : T)

Créer un programme Scilab qui demande deux réels aetb à l'utilisateur, et ache le graphe de la fonction lnsur[a, b], à condition que ces réels soient strictement positifs.

Exercice IV. (principales : T,C)

Soit(u_n)n∈N la suite dénie par la relation ∀n∈N, u_n+1 =−3u_n+ 2ⁿ, et de premier terme u₀ = 1. Pour expliciter le terme général de cette suite, on pose ∀n∈N, w_n= u_n

2ⁿ. 1. Vérier que ∀n∈N, w_n+1=−3

2w_n+1 2.

2. En déduire l'expression dewn en fonction den, puis celle deun.

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