E125. Le possible et l'impossible
On définit la relation de récurrence pn = [2{an + b}] dans laquelle n prend les valeurs entières 0, 1, 2, 3, ...., a et b sont deux nombres réels, {x} et [y] désignent respectivement la partie décimale de x et la partie entière de y. On obtient ainsi une suite S composée exclusivement de 0 et de 1.
Q1 Montrer qu’en choisissant a et b de manière adéquate, on sait trouver dans S une chaîne quelconque de quatre termes consécutifs choisis parmi les 16 quadruplets possibles constitués de 0 et de 1.
Q2 Montrer qu’après avoir choisi a et b une fois pour toutes, il est impossible de trouver dans S les 16 chaînes possibles de quatre termes constitués de 0 et de 1.
Q3 Montrer que quel que soit le choix de a et de b, il est impossible de trouver dans S une certaine chaîne de cinq termes consécutifs que l’on déterminera.
Solution proposée par Paul Voyer Je ne vois pas de récurrence dans l'énoncé.
On peut supposer sans perte de généralité que : l'on travaille en base 2, et que
0≤ a <1, 0≤ b <1/2.
Q1
Les pn caractérisent l'appartenance des éléments d'une progression arithmétique modulo 2 à l'intervalle [1, 2[, b n'étant qu'un offset.
La suite S est donc composée exclusivement d'ensembles de x ou x+1 "0" consécutifs et d'ensembles de x ou x+1 "1" consécutifs (sauf éventuellement au début en fonction de b).
x = plancher(1/2a) et plafond(1/2a) = x+1 en général (ou x si entier).
Par exemple 011000110011100111001100011 etc… avec x=2, a=.21, b=.41.
On sait donc trouver tous les 16 quadruplets possibles.
Par exemple 1111 ou 0000, 1110(0), 1100, (1)1000, 1101 etc…
Q2
On ne sait pas trouver à la fois 0000, 1111 et 1010 car il y a respectivement 4 "0", 4 "1", un
"1" isolé et un "0" isolé.
Q3
On ne saura pas trouver 00010 car il comporte trois "0" consécutifs et un "1" isolé.
