E141. Les suites du millésime MB
Q1 On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q2 Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ?
Nota : les deux questions sont indépendantes.
Q1) La récurrence qui définit la suite est un+2 = somme des chiffres de (un+ un+1) Cette suite est périodique de période 24 :
1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9, 1,1,2,3 etc
Comme 2021 est congru à 5 modulo 24, le 2021ième terme est égal au 5ième terme donc égal à 5.
Q2) Une somme d’entiers naturels consécutifs peut s’écrire ((n(n+1))
2 )−((m(m+1))
2 )
L’équation diophantienne n² + n – m² – m – 4042 = 0 admet pour solutions entières positives: (n,m) = (66, 19) ou (68,25) ou (1011, 1009) ou (2021, 2020).
Les suites distinctes d’entiers relatifs consécutifs dont la somme est égale à 2021 sont : (20, 21,..,66)
(-19, -18,…,66) (26, 27,…,68) (-25, -24, …, 68) (1010, 1011)
(-1009, -1008, …, 1011)
(2021) ( une suite d’un seul terme ) (-2020, -2019, …, 2021)
Il existe donc 8 suites distinctes d’entiers naturels consécutifs dont la somme est égale à 2021
