PanaMaths Avril 2011
Soit α un réel strictement positif différent de 1.
On définit la suite ( ) u
npar :
1
,
n n x
n
n u
+α dx
∀ ∈ ` = ∫
1. Pour tout entier naturel n, calculer u
n.
2. Déduire de ce qui précède que la suite ( ) u
nest géométrique (on précisera sa raison et son premier terme).
3. Donner lim
nn→+∞
u (on discutera suivant la valeur de α ).
Analyse
Un exercice court permettant de reprendre les notions élémentaires relatives aux intégrales, aux fonctions exponentielles et aux suites géométriques.
Résolution
Question 1.
Rappelons que l’on a : ∀ ∈x \,αx =ex×lnα. On en déduit immédiatement que la fonction
1 ln 1
ln ln
x x
x e α α
α α
× =
6 est une primitive de la fonction x6αx sur \. Il vient alors, pour tout entier naturel n :
( )
1 1
1 1 1 1 1
ln ln ln ln 1 ln
n n n
x x n n n
n n n
u α dx α α α α α α α
α α α α α
+ +
+ −
⎡ ⎤
=
∫
=⎢⎣ ⎥⎦ = − = − =, 1 ln
n
n un α α α
∀ ∈` = −
PanaMaths Avril 2011 Question 2.
L’expression de un obtenue à la question précédente est de la forme u q0 n avec 0 1 u αln
α
= − et
q=α. On en déduit immédiatement :
La suite
( )
un est une suite géométrique de premier terme 0 1 u αlnα
= − et de raison q=α.
Question 3.
Puisque nous avons affaire à une suite géométrique de raison q= >α 0 (et α≠1), on a immédiatement :
• Pour α∈
] [
0 ; 1 : lim n 0n u
→+∞ = .
• Pour α >1 : on a : lim n
n α
→+∞ = +∞. Par ailleurs, on a : α− >1 0 et lnα>0. On en déduit : 0 1
ln 0
u α
α
= − > puis, finalement : lim n
n u
→+∞ = +∞.
• Pour α∈
] [
0 ; 1 : limn un 0→+∞ = .
• Pour α>1 : lim n
n u
→+∞ = +∞.
