() () () () () () EXPONENTIELLES ET SUITES GEOMETRIQUES

EXPONENTIELLES ET SUITES GEOMETRIQUES

Propriété : Pour tout réel a, la suite ( ) ^u

définie sur par u

e

est géométrique.

Démonstration :

Soit n . u

e

e

e

e

e

u

donc la suite ( ) ^u

est géométrique de raison e

et de premier terme u

e

e

1.

Exemple : soit ( ) ^u

la suite définie sur par u

e

. La suite ( ) ^u

est géométrique de raison e

1 e

.

Application :

La fonction exponentielle permet de modéliser certains phénomènes.

Par exemple, on considère une population de bactéries qui double chaque mois. On suppose qu au départ, il y a une bactérie.

Si on note u

le nombre de bactéries après n mois, la suite ( ) ^u

est géométrique de raison 2 (puisque le nombre est multiplié par 2 chaque mois) et de premier terme u

1.

Le nombre de bactéries après 1 mois est u

2 ; Le nombre de bactéries après 2 mois est u

4 ; Le nombre de bactéries après 3 mois est u

8 ;

Le nombre de bactéries après n mois est u

u

q

1 2

2

Mais comment obtenir le nombre de bactéries après 8 mois et demi, c'est-à-dire au bout de 8,5mois ?

u

2

256 et u

2

512 donc il y aura après 8 mois et demi entre 256 et 512 bactéries.

Mais ce n est pas parce que 8,5 est au milieu entre 8 et 9 que le nombre de bactéries sera le milieu de [256 512] car la croissance n est pas régulière (linéaire).

On ne peut pas remplacer n par 8,5 dans la formule u

2

car 8,5 n est pas entier et 2

n a pas de sens ici.

A l aide d un tableur, on représente graphiquement la suite ( ) ^u

puis on l ajuste par une courbe de tendance de type "exponentielle" dont on fait afficher l équation sur le graphique :

On observe que la fonction f définie par f( x) e

"prolonge" cette suite.

On peut donc estimer qu au bout de 8 mois et demi, il y a e

362 bactéries.