E120. A la manière d'Aronson
On considère les suites d’entiers avec dont le premier terme est égal à et le terme général de rang est le plus petit entier strictement supérieur à quiest un multiple de 2k + 1 si et seulement si l'entier n est membre de la suite.
Question 1 : déterminer en fonction de .
Question 2 : pour quelles valeurs de , l’entier 2011 fait-il partie de la suite ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Question 1
Pour fixer les idées, prenons et calculons les premiers termes de :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2 3 6 7 8 9 12 15 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 30
On remarque que :
- quand varie de à , parcourt les entiers de à
- quand varie de à , parcourt les multiples de 3 entre et - quand varie de à , parcourt les entiers de à
- quand varie de à , parcourt les multiples de 3 entre et - quand varie de à , parcourt les entiers de à
On conjecture que dans le cas général, on peut construire de la façon suivante : - quand varie de à ,
parcourt les entiers de à - quand varie de à ,
parcourt les multiples de entre et On déduit de cette construction les formules :
Montrons que cette définition est équivalente à celle de l’énoncé.
Par construction, est :
- soit l’entier qui suit
- soit le plus petit multiple de après On vérifie que est égal à :
Supposons que est membre de la suite et montrons que est multiple de .
Si avec
Si avec
Supposons que est multiple de et montrons que est membre de la suite.
Si avec
Si avec et
avec
Si avec
avec
Question 2
2011 fait partie de la suite si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :
avec
Autrement dit, si l’inégalité est vraie.
On dresse donc le tableau suivant :
1 2 3 4 5 6 7 8 … 21
6 4 3 3 3 2 2 2 2 2
729 625 343 729 1331 169 225 289 … 1849 1458 1875 1372 3645 7986 1183 1800 2601 … 40678 2187 3125 2401 6561 14641 2197 3375 4913 … 79507 VRAI VRAI VRAI FAUX FAUX VRAI VRAI FAUX FAUX FAUX
22 … 30 31 … 1004 1005 … 2010 2011 …
1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
45 … 61 63 … 2009 1 … 1 1 …
1035 … 1891 2016 … 2019045 1006 … 2011 2012 … 2025 … 3721 3969 … 4036081 2011 … 4021 4023 …
VRAI VRAI VRAI FAUX FAUX FAUX VRAI VRAI VRAI FAUX FAUX
avec
Remarquons que car 2011 est premier. Cela implique . On a alors , donc convient.
On conclut que 2011 fait partie de si et seulement si .
