. On considère des suites dénies par récurrence par x

(1)

MPSI B DM 8 29 juin 2019

Soit a ∈ ]0, 1[ , la fonction f

a

est dénie dans [0, +∞[ par f

a

(x) = a

^x

. On considère des suites dénies par récurrence par x

0

≥ 0 et x

n+1

= f

a

(x

n

) .

Dans le problème, on pourra noter f au lieu de f

a

pour alléger l'écriture.

PARTIE I

1. a. Montrer que f

_a

est strictement décroissante et admet un unique point xe noté c . Comme c dépend de a , on pourra le noter c

a

en cas d'ambiguïté . Que peut-on en conclure pour les suites extraites (x

2n

)

_n∈N

et (x

2n+1

)

_n∈N

?

b. Montrer que c est un point xe de f ◦ f , exprimer (f ◦ f )

⁰

(c) en fonction de f

⁰

(c) . 2. a. Montrer, en utilisant la stricte décroissance de f que

1 ln

¹_a

< 1

e ⇔ |f

⁰

(c)| > 1

b. Que peut-on dire du point xe c de f

a

lorsque a < e

^−e

ou a > e

^−e

?

PARTIE II

On pose g(x) = f ◦ f (x) − x et h(x) = x + f (x) pour tout x ≥ 0 . 1. a. Montrer que pour tout x ≥ 0

g

⁰

(x) = (ln a)

²

a

^x+f(x)

− 1

b. Montrer que h

⁰

est strictement croissante que

h

⁰

(0) = 1 + ln a, g

⁰

(0) = (ln a)

²

a − 1, g(0) = a c. Préciser les limites en +∞ de h

⁰

, g , g

⁰

.

d. Comparer les variations de g

⁰

avec celles de h .

2. a. Montrer que, si a >

¹_e

, h

⁰

reste strictement positif dans [0, +∞[ . b. Montrer que, si a ≤

¹_e

, h

⁰

s'annule dans [0, +∞[ seulement au point

b = ln(ln

_a¹

) ln(

¹_a

)

c. Montrer que a < e

^−e

entraîne g

⁰

(b) > 0 , et que a > e

^−e

entraîne g

⁰

(b) < 0 .

3. On suppose ici a >

¹_e

. Préciser le tableau des signes de g . En déduire le comportement de (x

n

)

n∈N

suivant la valeur de x

0

.

4. On suppose ici e

^−e

< a ≤

¹_e

. Préciser le tableau des signes de g . En déduire le comportement de (x

n

)

n∈N

suivant la valeur de x

0

.

5. On suppose a < e

^−e

.

a. Montrer que g

⁰

(0) < 0 et g

⁰

(b) > 0 . En déduire la forme du tableau de variations de g . Combien g peut-elle avoir de zéros ?

b. Montrer que g s'annule exactement trois fois en des points c

1

, c , c

2

avec c

1

< c <

c

2

. Montrer que f (c

1

) = c

2

et que f (c

2

) = c

1

.

c. Préciser le comportement de (x

n

)

_n∈N

suivant la valeur de x

0

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M0308E