E128. Lecteurs impatients, s'abstenir... On considère la suite S des entiers a1

E128. Lecteurs impatients, s'abstenir... On considère la suite S des entiers a

₁

, a

₂

...,a ,... qui ont les propriétés suivantes :

- a

1

= 1

- si a

_n

s’écrit sous la forme XY

^k

avec le préfixe X, éventuellement nul, suivi de k copies de l’entier Y, k étant le plus grand entier possible, alors a

n +1

s’obtient par concaténation de l’entier k à la fin de a

n

.

Q1 Déterminer l’entier n tel que le chiffre 3 apparaît pour la première fois dans la séquence S [*]

Q2 Déterminer l’entier n tel que le chiffre 4 apparaît pour la première fois dans la séquence S [***]

Q3 Soit un entier k quelconque, est-on certain de rencontrer cet entier dans S ? [*****]

Solution de Paul Voyer Q1

Le problème concerne la séquence de Gijswijt http://oeis.org/A090822.

a

1

=1 a

₂

=1 1 a

₃

=11 2 a

4

=112 1 a

5

=1121 1 a

₆

=11211 2 a

7

=112 112 2 a

8

=1121122 2 a

₉

=11211222 3

n(3) = 9 Q2

Le résultat a été trouvé avec une macro EXCEL.

On a découvert plus tard dans http://oeis.org/A090822 le programme maple.

n(4) = 220 Q3

L'examen des résultats montre que les "3" apparaissent toujours juste après "222", ou dans

"33" après "2223", ou dans "333" après "22233", et les "4" après "2223333".

Les "3" successifs se trouvent aux adresses données par http://oeis.org/A157644.

Une recherche de n(5) jusqu'à 20000 a montré que ce nombre est très élevé, on n'a pas encore rencontré de "44", attendu juste après "33334", donc le "44444" attendu avant le premier "5"

est très loin.

Les distances entre les "4" successifs sont données par http://oeis.org/A157645

L'ensemble fait penser à un comptage naturel, dans lequel un chiffre progresse après que les

poids plus faibles ont pris la valeur "999…9".

On a trouvé dans http://oeis.org/A090822 la citation suivante, qui sous-entend le caractère infini de la suite des valeurs de k :

The first 5 appears around term 10^(10^23).

We believe that for all N >= 6, he first time N appears is at about position

2^(2^(3^(4^(5^...^(N-1))))).

Annexe

Les 100 premières valeurs (les lignes suivantes sont trop longues pour être montrées)

1

1

2

11

3

112

4

1121

5

11211

6

112112

7

1121122

8

11211222

9

112112223

10

1121122231

11

11211222311

12

112112223112

13

1121122231121

14

11211222311211

15

112112223112112

16

1121122231121122

17

11211222311211222

18

112112223112112223

19

1121122231121122232

20

11211222311211222321

21

112112223112112223211

22

1121122231121122232112

23

11211222311211222321121

24

112112223112112223211211

25

1121122231121122232112112

26

11211222311211222321121122

27

112112223112112223211211222

28

1121122231121122232112112223

29

11211222311211222321121122231

30

112112223112112223211211222311

31

1121122231121122232112112223112

32

11211222311211222321121122231121

33

112112223112112223211211222311211

34

1121122231121122232112112223112112

35

11211222311211222321121122231121122

36

112112223112112223211211222311211222

37

1121122231121122232112112223112112223

38

11211222311211222321121122231121122232

39

112112223112112223211211222311211222322

40

1121122231121122232112112223112112223222

41

11211222311211222321121122231121122232223

42

112112223112112223211211222311211222322232

43

1121122231121122232112112223112112223222322

44

11211222311211222321121122231121122232223222

45

112112223112112223211211222311211222322232223

46

1121122231121122232112112223112112223222322233

47

11211222311211222321121122231121122232223222332

48

112112223112112223211211222311211222322232223321

49

1121122231121122232112112223112112223222322233211

50

11211222311211222321121122231121122232223222332112

51

112112223112112223211211222311211222322232223321121

52

1121122231121122232112112223112112223222322233211211

53

11211222311211222321121122231121122232223222332112112

54

112112223112112223211211222311211222322232223321121122

55

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222

56

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223

57

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231

58

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311

59

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112

60

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121

61

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211

62

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112

63

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122

64

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222

65

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223

66

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232

67

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321

68

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211

69

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112

70

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121

71

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211

72

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112

73

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122

74

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222

75

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223

76

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231

77

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311

78

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112

79

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121

80

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311211

81

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112112

82

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121122

83

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311211222

84

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112112223

85

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121122232

86

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311211222322

87

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112112223222

88

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121122232223

89

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311211222322232

90

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112112223222322

91

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121122232223222

92

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311211222322232223

93

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112112223222322233

94

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121122232223222332

95

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311211222322232223322

96

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112112223222322233222

97

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121122232223222332223

98

11211222311211222321121122231121122232223222332112112223112112223211211222311211222322232223322232

99

112112223112112223211211222311211222322232223321121122231121122232112112223112112223222322233222321

100

1121122231121122232112112223112112223222322233211211222311211222321121122231121122232223222332223211