A30110. Tri-polygonaux
Déterminer les nombres qui sont à la fois triangulaires (entiers de la forme p(p+ 1)/2), pentagonaux (de la forme q(3q−1)/2) et hexagonaux (de la former(2r−1)).
Solution
Les nombres hexagonaux sont triangulaires (faire 2r−1 =p).
Il suffit d’assurern=q(3q−1)/2 =r(2r−1), soit 3(4r−1)2−(6q−1)2 = (24n+ 3)−(24n+ 1) = 2.
La solution générale est
p3/2(4r−1)±p1/2(6q−1) = (p3/2±p1/2)j,j entier impair.
Pour obtenir la forme 4r−1 et 6r−1 des coefficients dep3/2 etp1/2 dans le développement du second membre, il fautj= 8m+ 3 et alors
24n+ 2 = (3/2)(4r−1)2+ (1/2)(6q−1)2 =Tj(2), Tj étant le polynôme de Tchebychev de degréj.
Après n= 1 = (T3(2)−2)/24, les premières valeurs sont (T11(2)−2)/24 = 40755 et (T19(2)−2)/24 = 1533776805.
La récurrence
T8m+11(2) = 2T8(2)T8m+3(2)−T8m−5(2) = 37634T8m+3(2)−T8m−5(2) conduit ànm+1= 37634nm−nm−1+ 3136.
