() () () () SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES.

(1)

SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES.

I. Suites arithmétiques Traité en classe.

Les annotations en bleu sont une partie de ce qui aurait pu être dit à l oral. Elles ne sont pas forcément écrites de façon parfaitement rigoureuse.

Les exercices sont ceux du chapitre 5 du livre.

107, 108, 109 (suites arithm) 110, 111, 112 (modélisation)

II. Suites géométriques.

On suppose que M Corme choisit le contrat B : un salaire annuel de 18 000€ et une augmentation de 3,7%

chaque année.

On note b

n

le salaire annuel de M Corne l’année 2020 n avec le contrat B.

M Corme envisage de rester 15 ans dans l entreprise (jusqu en 2034).

Donner b

₀

, b

₁

et b

₂

.

Comment est définie la suite ( ) ^b

n

? Exprimer b

n 1

en fonction de b

n

. Essayez de répondre avant de lire la suite.

Augmenter de 3,7% revient à multiplier par 1 3,7

100 1,037 b

0

est le salaire en 2020 0 2020. Ainsi b

0

18000

b

1

est le salaire en 2020 1 2021. Alors b

1

18000 1,037 18666 b

2

est le salaire en 2020 2 2022. Alors b

2

18666 1,037 19356,642 Chaque année, le salaire augmente de 3,7%, donc il est multiplié par 1,037.

Alors, pour tout n de , b

n 1

b

n

1,037 La suite ( ) ^b

ⁿ

est définie par récurrence par :

 

 b

0

18000 b

n 1

1,037b

n

.

1. Définition

Pour calculer un terme de la suite ( ) ^b

ⁿ

, on multiplie le précédent par 1,037 : pour passer d un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre. On dit alors que la suite est géométrique ; le nombre par lequel on multiplie pour passer d un terme au suivant s appelle la raison, on le note q.

Une suite est géométrique si il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, u

n 1

q u

n

. Le réel q est alors appelé raison de la suite.

Autrement dit, on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q Exemples :

 La suite ( ) ^b

n

est géométrique de raison 1,037.

 Soit u la suite géométrique de raison q 2 et de premier terme u

0

7. On a alors u

1

7 2 14 ; u

2

14 2 28 ; u

3

28 2 56 …

 Soit u la suite définie pour tout entier n par u

n

3 5

ⁿ

: Méthode à retenir !!!

Pour montrer qu une suite est géométrique, on calcule u

n 1

et on essaie de montrer que c est un nombre (constant) multiplié par u

n

. Pour cela, on essaie de factoriser dans u

n 1

.

Pour tout n de , u

n 1

3 5

ⁿ ¹

Et on a 5

ⁿ ¹

5 5 5 … 5 (il y a (n 1) fois le nombre 5)

5

ⁿ ¹

5 5

ⁿ

(on regroupe n 5 ensemble et il en reste un devant) Par exemple : 5

⁴

5 5 5 5 5 5

³

Alors, pour tout n de , u

_n ₁

3 5

ⁿ ¹

3 5 5

ⁿ

5 3 5

ⁿ

5 u

_n

.

(2)

ex 7 fiche

2. Expression directe : Schémas :

On peut faire le schéma suivant : On peut faire le schéma suivant :

q q q q

u

0

u

1

u

2

u

3

… u

n 1

u

n

…Pour passer de u

0

à u

n

, on multiplie n fois par la raison, et donc par q

ⁿ

.

Si p est un entier naturel, on peut faire le schéma : q q q q

u

p

u

p 1

u

p 2

u

p 3

… u

n 1

u

n

…Pour passer de u

p

à u

n

, on multiplie n p fois par la raison, et donc par q

ⁿ ^p

.

On a donc :

Théorème : si u est une suite géométrique de raison q ( avec q  0 ) , alors pour tout entier naturel n, u

n

u

0

q

ⁿ

et pour tous entiers naturels n et p, on a : u

n

u

p

q

ⁿ ^p

Exemples :

1. Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite géométrique telle que u

0

1024 et de raison r 1

2 . Calculer u

15

et calculer le 10

^ème

terme de la suite.

2. Soit ( ) ^w

n

la suite géométrique définie sur telle que w

6

10 et q 2. Calculer w

20

.

3. Soit ( ) ^v

ⁿ

la suite géométrique de raison négative telle que v

10

5 et v

12

20. Déterminer la raison de la suite.

4. On reprend l exemple 1 de la page 1. Déterminer combien gagnera M Corne en 2034 s’il choisit le contrat B.

5. Soit ( ) ^z

ⁿ

la suite géométrique de raison q 3 et de premier terme z

0

2. Exprimer z

n

en fonction de n puis calculer z

1000

.

Parfois, selon le contexte, le premier terme de la suite est le terme d indice 1 et pas 0.

6. Soit ( ^m

ⁿ

) la suite définie par m

n 1

2m

n

et de premier terme m

1

1024.

Exprimer m

n

en fonction de n puis calculer le 9

^ème

terme de la suite.

Essayez de répondre avant de lire la suite. Les méthodes ressemblent à celles vues pour les suites arithmétiques.

1. u

15

u

0

q

¹⁵

1024

 

  1 2

15

1

32 La suite commençant au terme d indice 0 ( ) ^u

⁰

^{, le 10}

^ème

terme de la suite est u

9

. u

₉

u

₀

q

⁹

1024

 

  1 2

9

2. Le 10

^ème

terme de la suite est 2.

Dans les exemples 2 et 3, on ne connaît pas le terme d indice 0 donc on utilise la formule avec n et p.

2. On prend n 20 et p 6. w

20

w

6

q

^{20 6}

10 2

^{20 6}

163840

3. On prend n 12 et p 6. v

₁₂

v

₁₀

q

^{12 10}

donc 20 5 q

²

donc q² 4 donc q 2 ou q 2.

La raison étant négative, on a q 2.

4. 2034 2020 14 donc on cherche b

14

. On a b

0

18000 et q 1,037.

Alors b

14

b

0

q

¹⁴

18000 1,037

¹⁴

29934,71

En 2034, avec le contrat B, M Corne gagnera 29 934€71.

5. Pour tout n de , z

n

z

0

q

ⁿ

donc z

n

3 2

ⁿ

.

(3)

On a bien exprimé z

_n

en fonction de n puisque avant le , on a z

_n

et après le , la seule lettre est n.

Alors z

1000

3 2

¹⁰⁰⁰

.

6. Pour tout n de , m

_n ₁

2m

_n

donc la suite ( ) ^m

n

est géométrique de raison q 2. En effet, on passe d un terme au suivant en multipliant par 2. On connaît m

₁

et pas m

₀

donc on utilise la formule avec n et p. On prend p 1.

Alors pour tout n de , m

_n

m

₁

q

ⁿ ¹

, c'est-à-dire m

_n

1024 2

ⁿ ¹

La suite commençant à m

1

(le premier terme est m

1

), le 8

^ème

terme est m

8

. m

8

1024 2

^{8 1}

131072. Le 8

^ème

terme de la suite est 131 072.

ex 9 fiche ex 8 fiche(suite géom simple) 65, 66p158

117 3. Somme des puissances successives.

Soit q un réel différent de 1.

On pose S

n

1 q q² q

³

… q

ⁿ

.

On a alors (1 q) S

n

S

n

qS

n

1 q q² q

³

… q

ⁿ

q ( ¹ ^q ^q² ^q

³

^… ^q

ⁿ

)

(1 q )S

_n

1 q q² q

³

… q

ⁿ

q q ² q

³

… q

ⁿ ¹

Les termes s annulent deux à deux ( q avec q ; q² avec q ² …) et il ne reste que 1 et q

ⁿ ¹

. Alors (1 q) S

_n

1 q

ⁿ ¹

et donc S

_n

1 q

ⁿ ¹

1 q (on divise les deux membres par 1 q qui n est pas nul puisque q est différent de 1).

Pour tout réel q différent de 1, on a : 1 + q + q² + q

³

… + q

ⁿ

= 1 q

ⁿ ¹

1 q

Exemple : Calculer S 1 2 4 8 … 1024 2048 Essayez de répondre avant de lire la suite.

On remarque que S 1 2 2² 2

³

... 2

¹⁰

2

¹¹

. On applique donc la formule avec n 11.

S 1 2 2² 2

³

... 2

¹⁰

2

¹¹

1 2

^{11 1}

1 2

¹²

1 2

¹²

1 4095.

Application : ( ) ^u

n

est la suite géométrique de raison 3 et de 1er terme u

₀

2. Calculer u

0

u

1

u

2

… u

25

.

La suite étant géométrique, on peut appliquer la formule vue plus haut : pour tout n de , on a u

n

u

0

q

ⁿ

2 3

ⁿ

.

Alors u

₀

u

₁

u

₂

… u

₂₅

u

₀

u

₀

q u

₀

q ² … u

₀

q

²⁵

u 0 ( ¹ ^q ^q ^{² …} ^q ²⁵ )

u

0

1 q

²⁵ ¹

1 q 2 1 3

²⁶

1 3

2 ( ¹ ³

²⁶

)

2 3

²⁶

1 A partir de maintenant, on n utilisera pas la méthode ci-dessus mais directement les formules du théorème ci-dessous:

Théorème (admis) : ( ) ^u

ⁿ

est une suite géométrique.

Somme de termes consécutifs premier terme de la somme 1 q

nombre de termes

1 q

(4)

En particulier : u

0

u

1

u

2

... u

n

u

0

1 q

ⁿ ¹

1 q Exemples :

1. ( ) ^u

ⁿ

est la suite géométrique de raison 3 et de 1

^er

terme u

0

5. Calculer u

0

u

1

u

2

… u

20

. 2. ( ) ^u

n

est la suite géométrique de raison 1

4 et de 1

^er

terme u

₀

64. Calculer u

₅

u

₆

… u

₂₀

. 3. On reprend l exemple 1 de la page 1. Quelle somme aura gagné M Corme s il choisit le contrat B et reste dans l entreprise pendant 15 ans ?

Essayez de répondre avant de lire la suite.

1. La somme commence à u

0

donc on peut utiliser la première formule : u

0

u

1

u

2

… u

20

u

0

1 q

^{20 1}

1 q 5 1 3

²¹

1 3 5

3 ( ³

²¹

¹ )

2. La somme commence à u

₅

et pas à u

₀

donc on doit utiliser la deuxième formule : Il y a 16 termes (20 5 1).

Alors u

5

u

6

… u

20

u

5

1 q

¹⁶

1 q . Calculons u

₅

: u

₅

u

₀

q

⁵

64  

  1 4

5

1 16 Ainsi, u

5

u

6

… u

20

1 16

1  

  1 4

16

1 ¹ 4

1 16

4 3  

  1  

  1 4

16

1 12 .

 

 

1 ¹

4

¹⁶

3. On cherche b

₀

b

₁

… b

₁₄

.

La somme commence à u

₀

donc on peut utiliser la première formule : b

0

b

1

… b

14

b

0

1 q

^{14 1}

1 q 18000 1 1,037

¹⁵

1 1,037 352494,52.

En 15 ans, M Corne aura gagné 352 494€52.

Comparaison des deux suites :

En 2034, avec quel contrat gagnera-t-il le plus ?

a

14

29200 et b

14

29934,71 donc il gagnera plus en 2034 avec le contrat B.

Si M Corme reste dans l entreprise durant 15 ans, quel contrat doit-il choisir ?

a

0

a

1

… a

14

354000 et b

0

b

1

… b

14

352494,52 donc il doit choisir le contrat A car en 15 ans, ce contrat lui permettra de gagner plus.

ex 10 fiche (calculs de sommes)

ex 11 fiche (problème sur loyer avec somme) ex 119 p 165 ; 122

III. Variations des suites arithmétiques et géométriques.

Théorème (admis) : Soit (u

n

) une suite arithmétique de raison r . Si r > 0, la suite est croissante

Si r < 0, la suite est décroissante

C est logique car si r 0, on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre positif

donc les termes sont de plus en plus grands : la suite est croissante.

(5)

Et si r 0, on passe d un terme au suivant en enlevant toujours le même nombre positif donc les termes sont de plus en plus petits : la suite est décroissante.

Démonstration :

La suite ( ) ^u

ⁿ

est arithmétique de raison r donc pour tout n de , u

n 1

u

n

r . Si r 0 : u

n 1

u

n

r 0 donc la suite est croissante.

Si r 0 : u

n 1

u

n

r 0 donc la suite est décroissante.

Pour les suites géométriques : Conjecturons les variations :

Soit ( ) ^u

ⁿ

une suite géométrique de premier terme u

0

et de raison q.

Dans chaque cas, calculer les premiers termes et conjecturer le sens de variation de la suite.

Faites le avant de lire la correction.

 si q 2 et u

0

3  si q 2 et u

0

3  si q 0,5 et u

0

16  si q 0,5 et u

0

16  si q 2 et u

0

3 Correction :

 si q 2 et u

0

3 : u

1

6 ; u

2

12 ; u

3

24 … la suite semble croissante.

 si q 2 et u

0

3 : u

1

6 ; u

2

12 ; u

3

24 … la suite semble décroissante.

 si q 0,5 et u

0

16 : u

1

8 ; u

2

4 ; u

3

2 … la suite semble décroissante.

 si q 0,5 et u

0

16 : u

1

8 ; u

2

4 ; u

3

2 … la suite semble croissante.

 si q 2 et u

0

3 : u

1

6 ; u

2

12 ; u

3

24 … la suite n est ni croissante ni décroissante.

Théorème (admis) : Soit ( ) ^u

n

une suite géométrique de premier terme u

₀

et de raison q.

Si q > 1 et u

0

> 0, la suite est croissante Si q > 1 et u

₀

< 0, la suite est décroissante Si 0 < q < 1 et u

0

> 0, la suite est décroissante Si 0 < q < 1 et u

0

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