() () () () () () () () () () () () () SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES.

SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES.

I. Activité 1.

1. On définit les suite ( ) ^u

et ( ) ^v

par

 

 u

1

u

u

2 et

 

 v

4

v

v

2 . a. Calculer u

; u

; u

; v

; v

et v

.

b. Comment passe-t-on d un terme au suivant pour les suites ( ) ^u

^et ( ) ^v

^?

c. Les deux suites sont-elles les mêmes ? Quelle est la différence entre les deux ?

On dit que les suites ( ) ^u

^et ( ) ^v

sont arithmétiques de raison 2.

2. On définit les suite ( ) ^w

et ( ) ^z

par

 

 w

2 w

3 w

et    z

1 z

3 z

. a. Calculer w

; w

; w

; z

; z

et z

.

b. Comment passe-t-on d un terme au suivant pour les suites ( ) ^w

^et ( ) ^z

^?

c. Les deux suites sont-elles les mêmes ? Quelle est la différence entre les deux ?

On dit que les suites ( ) ^w

^et ( ) ^z

sont géométriques de raison 3.

II. Activité 2.

Arthur et Boris ont préparé chacun un programme d entraînement à la course à pied en vue de participer à un semi-marathon (21,1 km).

Ils vont s entraîner une fois par semaine selon les programmes suivants :

 ils démarrent par un entraînement de 3 000 m.

 à chaque entraînement, Arthur augmente sa distance de course de 600 m et Boris augmente sa distance de course de 7%.

Ils considèrent leur préparation achevée lorsqu ils auront atteint pour la première dois la distance du semi- marathon.

On note a

et b

les distances en mètres parcourues par Arthur et Boris au cours de leur n-ième entraînement.

A. Préparation d Arthur.

1. Donner a

. 2. Calculer a

et a

.

3. Comment est définie la suite ( ) ^a

? Exprimer a

en fonction de a

.

B. Préparation de Boris.

1. Donner b

. 2. Calculer b

et b

.

3. Comment est définie la suite ( ) ^b

? Exprimer b

en fonction de b

.

C. Comparaison des deux formules d entraînement.

A l aide d un tableur, on veut calculer les termes successifs des suites ( ) ^a

et ( ) ^b

. 1. Que doit-on entrer en B2 ?

2. Que doit-on entrer en C2 ?

3. Que doit-on entrer en B3, à recopier vers le bas ? 4. Que doit-on entrer en C3, à recopier vers le bas ?

5. Au bout de combien d entraînements Boris parcourt-il plus de distance qu Arthur ?

6. On représente graphiquement les termes des suites ( ) ^a

et ( ) ^b

à l aide du tableur. Que constate-t-on ?

III. Suites arithmétiques.

1. Définition

Une suite est arithmétique si il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, ...

ou encore u n 1 u n = ...

Le réel r est alors appelé ... de la suite.

Autrement dit, on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r (positif ou négatif)

Exemples :

 Soit u la suite arithmétique de raison r 7 et de premier terme u 0 =10. Calculer u

; u

et u

. Exprimer u

en fonction de u

.

 M Morand place un capital de 150 000€ à 4% à intérêts simples ; c'est-à-dire que les intérêts représentent 4% du capital initial et sont les mêmes tous les ans.

On note c

le capital de M Morand après n années.

1. Donner c

.

2. Calculer le montant des intérêts annuels et en déduire c

puis c

.

3. Exprimer c

en fonction de c

. Quelle est la nature de la suite ( ) ^c

^?

2. Représentation graphique et variation.

La représentation graphique d une suite arithmétique est formée de points ...

Théorème : Soit ( ) ^u

une suite arithmétique de raison r.

Si r 0, la suite (u

) est ...

Si r 0, la suite (u

) est ...

r 0 r 0

r 0

IV. Suites géométriques.

1. Définition

Une suite est géométrique si il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, ...

Le réel r est alors appelé ... de la suite.

Autrement dit, on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q (positif ou négatif)

Exemples :

 Soit u la suite géométrique de raison q 1

2 et de premier terme u ₀ =16. Calculer u

; u

et u

. Exprimer u

en fonction de u

.

 M Morand place un capital de 150 000€ à 4% à intérêts composés ; c'est-à-dire que les intérêts représentent 4% du capital de l année précédente.

On note c

le capital de M Morand après n années.

1. Donner c

.

2. Déterminer c

puis c

.

3. Exprimer c

en fonction de c

. Quelle est la nature de la suite ( ) ^c

?

2 3 4 5 6 7 -1

-2 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -2 -3

0 1 1

x y

2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

-2 2 3 4

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

0 1 1

x y

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1

2 3 4

-1 -2

0 1 1

x

y

4. Variation.

Théorème : Soit ( ) ^u

une suite arithmétique de raison r.

Si q 1, la suite (u

) est ...

Si 0 q 1, la suite (u

) est ...

Avec u

= 1 :

q <

0 0 < q < 1 q > 1

V. Calculs de termes.

1. A la calculatrice.

Exemple 1 :

( ) ^a

est la suite arithmétique de 1

terme a

3 et de raison 4.

a. Exprimer a

en fonction de a

.

b. A la calculatrice, on va calculer les termes de la suite ( ) ^a

. Casio :

 se placer dans le mode Récur

 choisir Type (touche F3) puis an+1 (touche F2)

 entrer la formule de récurrence en utilisant la touche F2 pour entrer a

puis appuyer sur EXE

 aller dans SET avec la touche F5, entrer la valeur de a

et la 1

et la dernière valeur de n souhaitées

 terminer en appuyant sur EXE jusqu à obtenir le tableau de valeurs de la suite.

TI :

 Dans mode, choisir suite (5

ligne)

 Appuyer sur f(x)

 Dans nMin entrer 0

 Dans u(n), entrer u( n 1) 4 u s obtient avec les touches 2nde puis 7 et n s obtient avec la touche x,T, ,n

 Dans u(nMin) entrer la valeur de a

, c'est-à-dire 3.

 Appuyer sur 2nde puis graphe pour obtenir le tableau de valeurs de la suite.

Qu obtient-on pour a

? pour a

? Exemple 2 :

L’employeur de M Corme lui propose deux contrats :

Contrat A : un salaire annuel de 18 000€ et une augmentation de 800€ chaque année.

Contrat B : un salaire annuel de 18 000€ et une augmentation de 3% chaque année.

2 3 4 5 6 7

-1 0 1 1

x y

2 3 4 5

4 6

0 1

2

x y

2 3 4 5

4 6 8

-2 -4 -6 -8

0 1

2

x

y

On note u

le salaire annuel de M Corne l’année 2017 + n avec le contrat A et v

le salaire annuel de M Corne l’année 2017 + n avec le contrat B.

1. Donner les deux premiers termes de chacune des suites.

2. Quelle est la nature de la suite ( ) ^u

? Exprimer u

en fonction de u

.

3. Quelle est la nature de la suite ( ) ^v

? Exprimer v

en fonction de v

.

4. Comparaison des deux contrats.

a. A la calculatrice, afficher les termes des deux suites pour n allant de 0 à 30.

b. Déterminer à partir de quelle année M Corne gagnera plus avec le contrat B qu’avec le contrat A.

2. Avec un algorithme.

a. ( ) ^u

est la suite géométrique de 1

terme u

3 et de raison 2. Voici un algorithme : Entrer n

U prend la valeur 3 Pour i allant de 1 à n

U prend la valeur 2U Fin Pour

Afficher U

Compléter le tableau suivant et déterminer l affichage obtenu en entrant n = 4.

U i N

Expliquer par une phrase ce que fait cet algorithme.

b. ( ) ^u

est la suite arithmétique de 1

terme u

2 et de raison 5. Voici un algorithme : Entrer n

U prend la valeur 2 Pour i allant de 1 à n

U prend la valeur U 5 Afficher U

Fin Pour

Compléter le tableau suivant et déterminer l affichage obtenu en entrant n = 4.

U i N

Expliquer par une phrase ce que fait cet algorithme.