1. SUITES ARITHMETIQUES, GEOMETRIQUES, et associées

1. SUITES ARITHMETIQUES, GEOMETRIQUES, et associées

Exercice 1.1

On définit, pour tout n∈ℕ, les deux suites arithmétiques suivantes : ^{0 0}

1 1

6 3

3 ; 5

n n n n

u v

u ₊ u v₊ v

= =

 

 

= − = −

  .

1) Donner les expressions de u_n et de v_n en fonction de n.

6 3 ; 3 5

n n

u = − n v = − n

2) Montrer que la suite

( )

wn définie par w_n =u_n+v_n est arithmétique ; décrire cette suite.

6 3 3 5 9 8

wn = − n+ − n= − n, expression d’une suite arithmétique de premier terme 9 et de raison – 8.

En effet : w₀ =u₀+ =v₀ 9 et wn₊¹−wn= −

(

^{6 3}

(

n+ + −¹

)

^{3 5}

(

n+¹

) )

− −

(

^{6 3}n+ −^{3 5}n

)

= −⁸. 3) Calculer la somme des 31 premiers termes de la suite

( )

un , puis celle de

( )

vn .

( ) ( )

30

0 30

0

31 31 6 6 3 30

2 2 1209

k k

u u u

=

+ + − ×

= = = −

∑

^{et 30}

⁽

^{0 30}

^{) ( )}

0

31 31 3 3 5 30

2 2 2232

k k

v v v

=

+ + − ×

= = = −

∑

^.

4) Déterminer le plus petit entier n tel que

0

600

n k k

u

=

< −

∑

^.

( )( ) ( )( )

²

0 2

1 6 6 3

600 600 1 6 6 3 1200 3 9 12 1200

2

3 9 1212 0

n k k

n n

u n n n n

n n

=

+ + −

< − ⇔ < − ⇔ + + − < − ⇔ − + + < −

⇔ − + + <

∑

Ce polynôme est négatif si sa variable n’est pas entre ses racines (premier coefficient négatif) ; or ses racines valent environ – 18,66 et 21,66. Donc c’est à partir de n = 22 que

0

600

n k k

u

= < −

∑

^.

Exercice 1.2

Une personne a reçu 30 000 € en héritage. Le 1er janvier 2015, elle a placé cette somme à intérêts composés au taux annuel de 7,25%.

1) De quelle somme disposait-elle le 1er janvier 2016?

30000 1,0725× =32175 €.

2) On pose u0 = 30 000. On désigne par un la somme dont elle dispose le 1er janvier de l'année (2015 + n).

a. Etablir une relation entre un+1 et un . En déduire que la suite

( )

un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

1 1,0725

n n

u ₊ = ×u . Premier terme : 30000, raison : 1,0725.

b. Exprimer un en fonction de n.

30000 1,0725ⁿ un= ×

c. Calculer u12.

12

12 30000 1,0725 69484,65

u = × ≈

3) Une publicité annonce : "Le placement GENEREUX rapporte 100% en 12 ans !"

a. Ce placement est-il plus ou moins intéressant que le précédent ? Justifier la réponse.

Ce placement est moins intéressant : le placement précédent a fait plus que doubler la somme initiale en 12 ans.

b. Déterminer son taux annuel sachant qu'il s'agit aussi d'un placement à intérêt composés.

En 12 ans, une somme est multipliée par 2. Or, en douze ans et au taux d’intérêts annuel t, elle est multipliée par

(

^1+t

)

¹². Donc t est tel que

(

^1+t

)

^{12 = ⇔ + =2 1 t 21 12/ ≈1,05946}. t ≈ 5,946 %.

Exercice 1.3

( )

un est la suite réelle définie pour n entier naturel par les relations : u₀ =6 et u_n+1=0,5u_n−4. 1) Calculez les trois premiers termes de cette suite.

1 3 4 1 ; 2 0,5 4 4,5 ; 3 2,25 4 6,25

u = − = − u = − − = − u = − − = − 2) Soit a un réel fixé. On pose pour n entier naturel : v_n=u_n−a.

a. Exprimer v₀, et v₁ v₂en fonction de a.

0 6 ; 1 1 ; 2 4,5

v = −a v = − −a v = − −a

b. Déterminer a tel que v₀, et v₁ v₂ soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

( ) (

²

)( )

1 2

0 1

1 4,5

1 6 4,5 2 1 1,5 27

6 1

280 56

3,5 28 8

35 7

v v a a

a a a a a

v v a a

a a

− − − −

= ⇔ = ⇔ − − = − − − ⇔ + = − −

− − −

⇔ = − ⇔ = − = − = −

c. Montrer que pour cette valeur de a, la suite

( )

^vn est bien géométrique.

1 1 0,5 4 0,5 4 8 0,5 4

8 8 0,5

n n n n n

n n n n n

v u a u a u u

v u a u a u u

+ = + − = − − = − + = + =

− − + +

d. Exprimer alors v_n en fonction de n.

La suite

( )

vn est géométrique de premier terme v₀= − = + =6 a 6 8 14 et de raison 0,5. 14

n 2n

v = . e. Quelle est la limite de la suite

( )

un ?

14 . 2 8

n n n

u = + =v a − lim _n 8

n u

→+∞ = − .

3) On pose S_n= + + +v₀ v₁ ... v_n et T_n =u₀+ + +u₁ ... u_n.

a. Exprimer S_n en fonction de n. En déduire l'expression de T_n.

1

1

1 1 2 1

14 28 1

1 2

1 2

n

n n

S ⁺ ₊

−  

= × =  − 

 

−

.

... ...

0 1 0 1 1

28 1 1 8

n n n n 2n

T u u u v a v a v a S na  ₊  n

= + + + = + + + + + + = + =  − −

  .

b. Quelle est la limite de la suite

( )

^Sn ? Quelle est la limite de la suite

( )

^{Tn ?}

La suite

( )

^Sn tend vers 28 et la suite

( )

^Tn tend vers −∞. Exercice 1.4

On considère la suite

( )

^un définie par : u₀=e et, pour tout entier naturel n, u_n+1= u_n . On pose, pour tout entier naturel n, ^vn=ln

( )

^{un .}

1) a. Montrer que, pour tout entier naturel n, ₁ 2

n n

v₊ =v . En déduire la nature de la suite

( )

vn .

( ) ( ) ^{( )}

ln ln ln

n 1

v = u = u = u =v .

b. Donner l'expression de v_n en fonction de n. En déduire l'expression de u_n en fonction de n.

( )

ln e^vn

n n n

v = u ⇔u = . 1

n 2n

v = , donc

1

e2ⁿ

un= .

2) Pour tout entier naturel n, on pose S_n= + + +v₀ v₁ ... v_net P_n= × × ×u₀ u₁ ... u_n. a. Montrer que P_n=e^Sn .

( )

ln e^vn

n n n

v = u ⇔u = . P_n= × × × =u₀ u₁ ... u_n e^v0×e^v1 × ×... e^vn =e^{v0+ + +v1 ... vn} =e^Sn b. Exprimer S_n en fonction de n. En déduire l'expression de P_n en fonction de n.

... ¹

2 1 1

1 2

0 1 1

1 21 1

1 2 1 e

1 2

1 2

n n

n n n n

S v v v P ⁺

 

−

+  

 

+

−  

= + + + = × =  − ⇔ =

 

−

3) Déterminer la limite de la suite

( )

Sn . En déduire celle de la suite

( )

Pn .

lim lim lim ²

1

2 1 1 2 e

n 2n n

n S n ₊ n P

→+∞ →+∞ →+∞

 

=  − = ⇔ =

 

Exercice 1.5

Soient les suites

( )

un et

( )

vn définies sur ℕ _{par :}

0 1 ; 1 1 ; 4 6 15

3

n

n n n

u = u₊ =u + −n v = u − +n . 1) Démontrer que la suite

( )

vn est géométrique.

Cherchons à établir une relation entre v_n+1 et v_n :

( ) ( )

1 1

4 1 6 1 15 4 2 5

4 6 1 15 3 3 1

4 6 15 4 6 15 4 6 15 3

n n n

n

n n n n

u n n u n

u n

v

v u n u n u n

+ +

 

+ − − + + − +

 

− + +  

= = = =

− + − + − + (raison de la suite)

2) a. Calculer v₀ et exprimer v_n en fonction de n.

0 4 0 6 0 15 4 15 19

v = u − × + = + = . 1 19 3

n n

v = ×

b. En déduire que pour tout entier naturel n, 19 6 15

4 3 4

n n

u = + n−

× .

19 1 6 15

6 15 3 19 6 15

4 6 15

4 4 4 3 4

n n

n n n n

v n n n

v u n u

× + −

+ − −

= − + ⇔ = = = +

×

3) Prouver que

( )

un peut s’écrire sous la forme d'une somme d'une suite géométrique

( )

gn et d'une suite arithmétique

( )

^{an .}

Notons 19

n 4 3n

g =

× et 6 15

n 4

a = n− .

gn est l’expression d’une suite géométrique de premier terme 19

4 et de raison 1 3. Pour

( )

an :

( )

1

6 1 15 6 15 6 3

4 4 4 2

n n

n n

a ₊ −a = + − − − = = .

( )

an est une suite arithmétique de raison 3

2 et de premier terme 15

− 4 .

4) Calculer G_n=g₀+g₁+ +... g_n et A_n =a₀+ + +a₁ ... a_n. En déduire u₀ + + +u₁ ... u_n.

( )( ) ( )

( )( )

1 0

1

15 6 15

1 1

1 1

19 3 57 1 1 ; 4 4 1 1 6 30

4 1 1 8 3 2 2 8

3

n n

n n n

n n

n a a

G A n n

+

+

− −

 

+ +

−   + +  

= × =  −  = = = + −

 

−

( )( )

0 1 ... 1

1 1

57 1 1 6 30

8 3

n n

u u u   ₊  n n 

+ + + =   − + + − 

 

 

Exercice 1.6

On considère la suite

( )

un de nombres réels définie par: u₀ =2 et pour tout n entier naturel,

( ) ( )

ln u_n+1 = +1 ln u_n 1) Calculer u₁, u₂ et u₃.

( ) ( )

^{( ) ( )}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{( ) ( )}

( ) ( ) ^{( )} ( ) ^{( ) ( )}

^{( ) ( )}

ln ln

ln ln

ln ln

ln ln

ln ln ln ln ln

ln ln ln ln ln ln

1 2 1 2

1 1

2 2 2 2 2

2 2

3 2 2

2 2 3 3

3 3

1 2 e e e 2e

1 2e 1 2 e 2 2 e e e 2e

1 2e 1 2 e 1 2 2 e e e e 2e

u u

u u

u u

+

+

+

= + ⇔ = = =

= + = + + = + ⇔ = = =

= + = + + = + + ⇔ = = =

2) a. Montrer que ^{n 1} e

n

u u

+ = , où e désigne la base des logarithmes népériens.

( ) ( )

ln ln

1 1

1 e e e e

e

n n

u u

n n

n n n n

u u

u u u u

+

+ = = × = × =

b. En déduire l'expression de u_n en fonction de n.

La suite

( )

un étant géométrique de premier terme 2 et de raison e, on a : u_n=2eⁿ. 3) Préciser le sens de variation de la suite

( )

^un et calculez ^lim

( )

n

n u

→+∞ .

Bien entendu, la suite

( )

un est croissante et n^lim

( )

un

→+∞ = +∞.

4) Déterminer le plus entier n₀ tel que

0

1010

un > .

( ) ( ) ^{( ) ( ) ( ) ( )}

ln ln ln ln ln ln

10 10

2eⁿ >10 ⇔ 2eⁿ > 10 ⇔ 2 + >n 10 10 ⇔ >n 10 10 − 2 ≈22,33. L’entier n₀ cherché est donc 23.

2. SUITES ET FONCTIONS

Exercice 2.1

La suite

( )

un est définie par la relation :

2

0 1

6, 2

3

n n

n

n

u u

u u

+ u

= = + +

+ .

On définit aussi la fonction f sur l'intervalle [0 ; +∞[ par la relation :

( )

^{2 2}

3 x x

f x x

= + +

+ . 1) a. Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; +∞[ et donner sa limite en +∞.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 1 3 2 6 1

3 3

x x x x x x

f x

x x

+ + − + + + +

′ = =

+ + .

Etude du signe de x²+6x+1 : ∆ = 32, racines : 3 2 2− − et 3 2 2− + , toutes deux négatives.

Ainsi, x²+6x+ >1 0 sur ℝ₊ et la fonction f y est strictement croissante.

lim lim

2 2

2 3

x x

x x x

x x

→+∞ + + = →+∞ = +∞

+ .

b. Tracer la courbe de f dans un repère orthonormé (unité 2 cm), ainsi que la droite y = x.

2) On définit les points Mn

(

u un^, n

) (

^, A un n^{,0 et}

)

B u un

(

n^, n₊¹

)

. a. Placer sur le graphique les points M₀, A B M₀, ₀, ₁, A B₁, ₁. voir graphique.

b. Montrer que la suite

( )

un est strictement décroissante.

( )

2 2 1

2 3

2 2 2

3 3 3

n n n n

n n n

n n n

n n n

u u u u

u u u

u u u

u u u

+

+ + − +

+ + − +

− = − = =

+ + + .

Cette différence est négative tant que u_n>1. Essayons de montrer que cette condition est vraie pour tout n, par récurrence :

- initialisation : u₀ = >6 1.

- récurrence : supposons que u_n>1 et notons u_n= +1 a avec a>0 ; a-t-on u_n+1>1 ?

2 2

1

2 4 3

3 4 1

n n

n

n

u u a a

u ⁺ u a

+ + + +

= = >

+ + .

n 1

u > est donc démontré pour tout n.

c. A l’aide du graphique, conjecturer la limite de la suite

( )

un .

On s’intéresse aux points M_n successifs. Par construction, M_n

(

u u_n^, _n

)

est le projeté de B_n−¹

(

u_n−^1,u_n

)

sur la droite y = x parallèlement à l’axe des abscisses, puis B u u_n

(

_n^, _n+¹

)

est le projeté de M_n

(

u u_n^, _n

)

sur la courbe de la fonction, puis M_n+¹

(

u_n+^1,u_n+¹

)

est le projeté de B u u_n

(

_n^, _n+¹

)

sur la droite y = x

parallèlement à l’axe des abscisses, et ainsi de suite.

La répétition de ce processus semble « faire descendre » indéfiniment les points M_n vers le point

( )

1 1 , point d’intersection de la courbe et de la droite. ^,

Il semble donc que la limite de la suite décroissante

( )

^un soit égale à 1.

Exercice 2.2

On considère la fonction f x: ∈ℝ^*₊ ֏x−lnx.

On considère la suite

( )

^un telle que : ^u0 =^{7, un}+¹= ^{f u}

( )

ⁿ .

1) Après une rapide étude des variations de f, déterminer le minimum de cette fonction et en déduire que pour tout entier naturel n, u_n≥1.

( )

^{1 1}

f x

′ = −x, positif ssi x≥1. La fonction atteint donc son minimum en x=1 et ce minimum vaut

( )

^{1 1}

f = . Comme u₀ = ≥7 1 et à partir du rang 1, un = f u

( )

n₋¹ ≥¹, on a bien u_n≥1 pour tout n.

2) Exprimer u_n+1−u_n en fonction de u_n. En déduire que la suite

( )

^un est décroissante.

( ) ( )

ln ln

1 0

n n n n n n

u ₊ − = −u u u − = −u u ≤ car u_n≥1. D’où la décroissance de la suite.

3) Après avoir représenté la droite d’équation y = x, et quelques points relatifs aux premiers termes de la suite, à l’image de l’exercice précédent, conjecturer la limite de cette suite.

Il semble ici aussi que la limite de la suite décroissante

( )

un soit égale à 1.

Exercice 2.3

Soit la suite

( )

un définie par : .

1

2e 2 d

n x n

n

u x

+ −

=

∫

^.

1) a. Calculer u₀. .

1 2 2 1 2 0 2

0 0

0

2e ^xd e ^x e e 1 e

u =

∫

⁻ x= − ⁻  = − ⁻ + = − ⁻ b. Montrer que ^un=e−2n

(

^{1 e− −2}

)

^.

( )

( )

.

1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

2e d e e e e e e e 1 e

n x x n n n n n n

n n

n

u x

+ −  −  + − + − − − − − −

=

∫

= −  = − + = − × + = −

c. Montrer que la suite

( )

^un est géométrique ; préciser sa raison.

( )

( )

( )

2 1 2

1 2

2 2

e 1 e

e

e 1 e

n n

n n

u u

− + −

+ −

− −

= − =

− . Elle est bien géométrique, de raison e⁻². 2) On pose S_n= + + +u₀ u₁ ... u_n.

a. Exprimer S_n en fonction de n.

( )

^{2( 1) ( )}

1

2 1

2

0 2

1 1 e

1 e 1 e

1 1 e

n n

n n

S u q

q

− +

+ − − +

−

− −

= × = − = −

− −

b. Donner la limite de S_n en l’infini.

Sn tend vers 1.

Exercice 2.4

On considère les suites

( )

^{un ,}

( )

^{vn et}

( )

^wn définies pour tout entier naturel n non nul par : 1

un

= n, 1

n 1 v =n

+ et w_n =u v_{n n} 1) Vérifier que ces suites sont convergentes. Donner leur limite.

Toutes les trois sont clairement décroissantes et minorées (par zéro) ; donc elles convergent.

Leur limite commune est zéro.

2) Montrer que .

1 2

1 d

n n

n

w x

x

+

=

∫

^.

( ) ( )

.

1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1

d 1 1 1 1

n n

n n n

n n

n n

x u v w

x x n n n n n n n n

+   + − + +

= −  = − + + = + = + = × + = × =

∫

3) On considère la suite

( )

^Sn définie par

1 n

n i

i

S w

=

=

∑

^.

a. Exprimer S_n en fonction de n.

. . ... . .

2 3 1 1 1

2 2 2 2

1 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

d d d d 1

1 1 1

n n n

n

n i

i n

S w x x x x

x x x x x n n

+ + +

=

 

=

∑

=

∫

+

∫

+ +

∫

=

∫

= −  = − + + = − + b. Donner la limite de S_n en l’infini.

Sn tend vers 1 !

3. SUITES ET PROBABILITES

Exercice 3.1

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On imagine n sacs de jetons S1, S2, ..., Sn. Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :

- Première étape : on tire au hasard un jeton de S1 ;

- Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2 ;

- Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3 ; - et ainsi de suite.

Pour tout entier naturel k tel que 1≤ ≤k n, on note Bk l'événement "le jeton tiré de Sk est blanc"

1) a. Déterminez la probabilité de B1, notée p(B1), et les probabilités conditionnelles p(B2/B1) et p(B2/B ). ₁ Déduisez-en la probabilité de B2, notée p(B2).

p(B1) 1

=3. p(B2/B1) 2

=3 et p(B2/B )₁ 1

=3.

Donc p(B2) = p(B2/B1)×p(B1) + p(B2/B )×p(₁ B ) ₁ 2 1 1 2 4

3 3 3 3 9

= × + × = .

b. Pour tout entier naturel k tel que 1≤ ≤k n, la probabilité de Bk est notée pk. Justifiez la relation de récurrence suivante : ₁ 1 1

p p

3 3

k+ = k + .

(

^/

) (

^/

) ^{( ) ( )}

1 1 1

2 1 1 1

p p B B p p B B 1 p p 1 p p

3 3 3 3

k+ = k+ k × k + k+ k × − k = × k + × − k = k + 2) Etude de la suite

( )

^pk . Cette suite est ainsi définie par un premier terme ₁ 1

p =3 et par une relation de récurrence : ₁ 1 1

p p

3 3

k+ = k + .

a. Montrer que la suite

( )

^vk définie pour tout k∈ℕ^* par v_k =p_k −0,5 est géométrique.

1 1

1 1 1 1

p 0,5 p

p 0,5 3 3 3 6 1

p 0,5 p 0,5 p 0,5 3

k k

k k

k k k k

v v

+ = + − = + − = − =

− − − .

b. En déduire l’expression de p_k en fonction de k. Préciser sa limite.

( )

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

p 0,5

3 3 6 3 2 3

k k k k k

v = ×v ₋ = − × ₋ = − × ₋ = − ×

1 1

p 0,5 1

2 3

k =vk + =  − k 

 . Donc, p_k tend vers 1 2.

3) Supposons que le jeu se compose de 10 sacs et consiste donc en 10 tirages. Pour quels numéros de sacs la probabilité de tirer un jeton blanc dans ce sac est-elle comprise entre 0,4999 et 0,5 ?

ln ln ln

ln

1 1 1 1

0,4999 1 0,5 0,9998 1 1 0 0,0002 3 5000

2 3 3 3

3 5000 5000 7,75

3

k

k k k

k k

 

≤  − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≥

 

⇔ ≥ ⇔ ≥ ≈

Cette probabilité aura atteint ce niveau aux sacs 8, 9 et 10.

Exercice 1.2

Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que :

s'il a arrêté le n^ième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant [ le (n + 1)^ieme] est 0,8;

s'il n'a pas arrêté le n^ième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6 . la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7

Dans tout l'exercice, si E est un événement, on note p(E) la probabilité de E, E, l'événement contraire de E.

On note p(E/f ) la probabilité conditionnelle de l'événement E sachant que F est réalisé. An est l'événement ''le gardien arrête le n^ieme tir''. On a donc p(A1 )= 0,7.

a: Donnez pour n > 1 les valeurs de p(An+1 / An ) et p( n+1 / An) b: Exprimez p(An+1 An ) et p(An+1 An ) en fonction de p(An )

c:Déduisez-en que, pour tout entier strictement positif n ³ 1 on a :p(An+1 ) = 0,2 p(An ) + 0,6.

On pose à présent, pour n > 1, pn = p(An ) et un = pn - 0,75 a: Démontrez que (un) est une suite géométrique de raison 0,2 b:Déduisez-en une expression de pn en fonction de n

c:Montrez que (pn ) admet une limite que l'on calculera.

Exercice 1.3

En 1990, Monsieur Dufisc a fait sa première déclaration d'impôts sur le revenu:

Il a déclaré un revenu annuel de 90 000 francs, l'impôt correspondant s'est élevé à 8000 francs et son revenu après impôt a donc été de 82 000 francs.

Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté de 2% et l'impôt correspondant a augmenté de 3%.

Monsieur Dufisc souhaite étudier ce qu'il adviendra de son revenu après paiement de l'impôt si l'évolution constatée se poursuivait.

Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit et, pour tout entier n positif ou nul, on note: Rn le montant, exprimé en francs, du revenu annuel de Monsieur Dufisc en l'an (1990+n), In le montant, exprimé en francs, de l'impôt correspondant,

Un = Rn - In, le revenu après impôt.

Ro = 90 000 , Io = 8 000 , Uo = 82 000 1.a: Calculer R 1 , I 1 , U 1 , R 2 , I 2 , U 2 .

b: Montrer que, pour tout entier positif n , on a : R n = 90 000.(1,02) ⁿ et I n = 8 000.(1,03) ⁿ . 2.a: Montrer que, pour tout entier positif n, U n+1 - U n = 1800.(1,02) ⁿ - 240.(1,03) ⁿ .

b: Montrer que Un+1 < Un si et seulement si . c: Déterminer les entiers positifs n qui vérifient .

3: Si l'évolution que Monsieur Dufisc a constatée concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit, Monsieur Dufisc verra-t-il son revenu après impôt diminuer?

Exercice 1.3

Un club de sport propose deux types d'abonnements non permutables.

Formule A: une cotisation annuelle de 500 F à laquelle s'ajoute la première année seulement un droit d'entrée de 10 000 F.

Formule B: une cotisation annuelle initiale de 1 000 F qui augmente de 10% par an. Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 50 F sur la cotisation annuelle. Si Cn est la montant, exprimé en francs, de la cotisation annuelle de n-ième année, on a

C1 = 1000 et pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , Cn+1 = 1,1Cn - 50

1: Déterminez la somme Tn versée au club de sport par membre pendant n années avec la formule A.

2: Soit (Dn) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par Dn = Cn + α où α est un réel.

Déterminer le réel α pour que la suite (Dn) soit une suite géométrique de raison 1,1 et précisez le terme initial de la suite.

3: On suppose dans cette question que α = -500.

a: Exprimer Dn puis Cn en fonction de n

b: Soit Sn la somme versée au club par un membre pendant n années avec la formule B.

Montrez que Sn = 5000[(1,1)ⁿ -1] + 500n

c: Quel nombre minimum d'années un membre doit-il cotiser pour que la formule A soit plus avantageuse que la formule B?

Exercice 4:

La population d'une ville au mois de janvier 2001 est de 25 000 habitants. Un programme de construction immobilière prévoit la construction de nouveaux logements dans cette ville et une estimation réalisée par les services municipaux conduit à penser que la population doit augmenter de 1250 habitants par an durant les années à venir.

On estime que ce programme immobilier ne va pas plaire à tous les habitants de cette ville et que 250 anciens habitants de cette ville partiront par an durant les prochaines années.

On appelle Po le nombre d'habitants en janvier 2001 , P1 le nombre d'habitants en janvier 2002 , ... , etc, et Pn le nombre d'habitants en janvier de l'année (2001+n).

1: Quelle est la valeur de P1 ? de P2 ? de P3?

2: Montrez que la suite (Pn) est arithmétique et donnez sa raison.

3: A partir de quelle année peut-on estimer que la populaion de cette ville dépassera les 50 000 habitants ?

4: A partir de quelle année la population nouvelle attirée par les constructions immobilières sera plus importante que la population ancienne, celle présente avant le programme immobilier ? 5: A partir de quelle année la ville ne comptera plus parmi ses habitants de membres de l'ancienne population ?

Exercice 5:

Une personne fait un héritage de 100 000 euros. Prudente, elle décide de placer cette somme d'argent en obligations d'Etat qui lui rapporte 7% en intérêts simples. Comme ses besions en argents ne sont pas importants, elle décide que, tant que le capital résultant de son placement n'a pas atteint 150 000 euros, elle laisse son argent sur les Obligations d'Etats. Dès que le capital dépasse 150 000 euros, elle demandera le versement en liquide de ses intêrèts.

Question :

En quelle année demandera-t-elle le versement des intêrèts?

Exercice 6:

On sait que A, B et C sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

On sait que A + B + C = 250 et 2A + 3B +4C = 500 Question:

Exercice 1.3

Exercice 1: Voir la CORRECTION

On définit la suite suvante : u0 = 2 et pour tout n entier naturel : un+1 = (0,8)un + 2.

1: Calculez u1 , u2 et u3.

2: Déterminez un réel a tel que la suite (vn) définie par vn = un + a soit une suite géométrique.

On pose alors pour tout n entier naturel vn = un - 10.

3: a: Calculez v0 puis donnez l'expression de vn en fonction de n.

b: Quelle est l'expression de un en fonction de n? Déterminez la limite de la suite (un).

4: Pour n entier naturel, on pose : Sn = u0 + u1 + ... + un et Tn = v0+ v1 + ... + vn.

a: Quelle est l'expression de Tn en fonction de n? Quelle est la limite de la suite (Tn)?

b: Quelle est l'expression de Sn en fonction de n? Quelle est la limite de la suite (Sn)?

Exercice 2: Voir la CORRECTION

Une personne décide de placer sur un livret d'épargne et ceci tous les ans, la somme de 10 000 Euros.

Ce livret d'épargne rapporte 8% d'intérêts composés par an.

Le premier dépôt sur le livret est effectué le 1°janvier 2001. Les intérêts sont versés sur le livret le 31 décembre de l'année en cours. (les premiers intérêts seront versés le 31 décembre 2001).

On appelle (Cn) le capital disponible en euros, au 1° janvier de l'année (2001+n). Ainsi , C0 = 10 000.

1: Calculez C1 et C2.

2: Montrez que la suite (Vn) définie par : Vn = Cn + 125000 : est une suite géométrique.

Quelle est sa raison? Donnez l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Cn en fonction de n.

3: Quel sera le capital disponible sur le livret au 1° janvier 2012 ? (résultat arrondi à l'entier le plus proche) Exercice 3: Cet exercice est un condensé des deux exercices précédents

La population d'une ville est, pour l'année 2002, de 55 000 habitants. On estime que cette population devrait évoluer dans les années à venir pour deux raisons:

a: Un accroissement naturel de 1,25% par an qui correspond à la natalité.

b: Une arrivée de 250 nouveaux habitants par an qui correspond à une augmentation du nombre de logements.

On appelle Pn le nombre de milliers d'habitants prévisible de cette ville pour l'année (2002+n). Ainsi, P0 = 55.

1: Calculer P1 , P2 et P3 (résultats arrondis à l'entier le plus proche).

2: Quelle l'expression de Pn+1 en fonction de Pn? La suite (Pn) est-elle arithmétique? géométrique?

(réponse à justifiées)

3: Déterminez un réel a tel que la suite (Un) définie par Un = Pn + a soit géométrique.

On pose alors a = -20.

4: Donnez l'expression de Un puis celle de Pn en fonction de n.

A partir de quelle année la population de cette ville dépassera les 75 000 habitants?

Exercice 4: Voir la CORRECTION

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 0,75x + 2. (D) est la droite qui représente cette fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé.

(D) : y = 0,75x + 2 On appelle (D ' ) la droite d'équation : y = x.

1: Représentez sur une figure les droites (D) et (D ').

Déterminez les coordonnées du point L l'intersection de ces deux droites.

2: On définit la suite (un) par : u0 = 0 et pour tout n entier naturel, un+1 = f(un).

An , Bn et Un sont les points de coordonnées respectives (un ; 0) , (un ; un+1) ; (un ; un).

a: Placez sur la figure A0 , B0 , U0 , A1 , B2 , U1 et A2.

b: Montrez que la suite (vn) définie par vn = un - 8 , est géométrique.

Donnez alors l'expression de vn, puis celle de un en fonction de n.

Etudiez la convergence de la suite (un).

c: Que peut-on en déduire pour les suites de points (An) , (Bn) et (Un) ?