Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e 0,3t 1 e 0,3t 1 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v 1 .

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°13. TS1.

Pour le jeudi 30 mars 2017 SUJET 1 Pour préparer le bac.

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e ^0,3t 1 e ^0,3t 1 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v 1 .

2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement. On admet que t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s ⁻¹ ) est égale, avant d’atteindre le sol, à v 1(t) . On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m.s ⁻¹ . Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m .s ⁻¹ ), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 ( t) 32,7 ( ¹ ^e ^0,3t ) ^.

1. Quelle est la vitesse, exprimée en m .s ⁻¹ , atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s ⁻¹ .

2. Résoudre l’équation v 2 ( t) 30m.s ⁻¹ . Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.

3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

d(T )  

0 T v 2 (t)dt .

a. Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 20], d (T ) 109 ( ^0,3T ^e ^0,3T ^{1 .} )

b. Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.

4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.

SUJET 2 Pour aller vers le supérieur.

I. ( ) ^u n est définie par u ₀ 0 et, pour tout n de , u _n ₁ u _n 2 et ( ) ^v n est définie par v _n e ^u

ⁿ

^ln(2) Déterminer lim

n



k 0 n

v _k .

II. Soit G la fonction définie sur l’intervalle [1; 3] par : G (x)

 

1 x 1

2 cos(t) dt Etudier les variations de G sur [1; 3]

III. Soit f une fonction continue et strictement positive sur un intervalle [ a b]. Soit F la fonction définie sur l’intervalle [ a b] par : F( x)  

a

x f( t)dt.

Montrer qu’il existe un unique+ nombre réel appartenant à l’intervalle [a b ] tel que F( ) 1

2 F(b ).

(2)

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°12. TS1

SUJET 1 Pour préparer le bac.

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e ^0,3t 1 e ^0,3t 1 1. v ₁ est dérivable sur +. Pour tout réel t 0 ; on a : v 1 (t ) 5 [ ^0,3e ^0,3t ( ^e ^0,3t ¹ ) ( ^e ^0,3t ^{1 0,3e} ) ^0,3t ]

( ^e ^0,3t ¹ ) ²

3 e ^0,3t

( ^e ^0,3t ¹ ) ² ^{0. v} ¹ est donc croissante sur [0 [.

2. v 1 ( t) 6  e ^{0 , 3t} 1

e ^{0 , 3} ^t 1 6

5  e ^0,3t 1 1,2 ( ^e ^0,3t ^{1 car} ) ( ^e ^0,3t ¹ ) ⁰

 0,2 e ^0,3t 2,2  e ^0,3t 11

Pour tout réel t 0, e ^0,3t 0 11, donc pour tout réel t 0, v ₁ (t ) 6.

Le colis ne risque donc pas d être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m .s ⁻¹ ), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 ( t) 32,7 ( ¹ ^e ^0,3t ) ^.

1. v 2 (10) 31,1. Au bout de 10 secondes, la vitesse du colis est environ 31,1 m .s ⁻¹ .

2. v ₂ ( t) 30  ( ¹ ^e ^0,3t ) ³⁰

32,7  e ^0,3t 2,7

32,7  0,3 t ln

 

  2,7

32,7  t ln

 

  32,7

2,7 0,3 .

v 2 (t ) 30m .s ⁻¹ a pour unique solution ln  

  32,7

2,7

0,3 8,3.

Le colis atteint une vitesse de 30 m .s ¹ au bout d environ 8,3 secondes.

3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

d(T )  

0 T v 2 (t)dt .

a. Pour tout réel T de l’intervalle [0 20] : d( T)

 

  32,7  

  t ¹

0,3 e ^0,3t

0 T

32,7  

  T ^e ^0,3T

0,3

32,7

0,3 109 ( ^0,3T ^e ^0,3T ¹ )

b. d (20) 545. Lorsqu il atteint le sol, le colis a parcouru environ 545m.

4. On cherche un réel t 0 tel que d (t ) 700.

La fonction d est dérivable sur +. Pour tout réel t 0, d (t ) 32,7 ( ¹ ^e ^0,3t ) ^.

1 e ^0,3t 0  e ^0,3t 1  0,3 t 0  t 0 donc d ( t) 0 sur ]0 [.

Ainsi d est continue et strictement croissante sur [0 [ ; d (0) 0 et lim

t

d (t ) (pas de FI, limite simple à calculer). Alors l équation d( t) 700 a une unique solution dans [0 [.

D après la calculatrice, 24,7 24,8.

Si on l avait lâché d une hauteur de 700m, le colis aurait mis entre 24,7 et 24,8 secondes pour

atteindre le sol.

(3)

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°12. TS1

SUJET 2 Pour aller vers le supérieur.

I. ( ) ^u n est définie par u 0 0 et, pour tout n de , u n 1 u _n−2 et ( ) ^v n est définie par v n e ^u

ⁿ

^ln(2) Déterminer lim

n



k 0 n

v k .

( ) ^u ⁿ est une suite arithmétique de raison 2 et de 1er terme 0 donc, pour tout n de , u n 2 n.

Alors, pour tout n de , v n e ^2nln(2) 1 e ^2nln(2)

1 e ^ln ⁽ ²

²ⁿ

⁾

1 2 ²ⁿ

1 4 ⁿ  

  1 4

n

.



k 0 n

v k v 0 v 1 … v n 1 1 4  

  1 4

2 …

 

  1 4

n 1

 

  1 4

n 1

1 ¹ 4

4 3  

  1  

  1 4

n 1

1 1

4 1 donc lim

n  

  1 4

n 1

0 donc lim

n



k 0 n

v k

4 3 II. Soit g la fonction définie sur [1 3] par g( t) 1

2 cos(t ) . La fonction g est continue et positive (car 1 cos(t ) 1) sur [1 3] donc, d après le cours, G est dérivable sur [1 3] et on a G g 0. La fonction G est donc strictement croissante sur [1 3].

III. D après le cours, F est dérivable sur [ a b ] avec F f 0.

Ainsi F est continue et strictement croissante sur [ a b].De plus, F (a )  

a

a f( t)dt 0 ; F( b) 0 donc 1 2 F( b)  [0 F (b )].

Alors, il existe un unique nombre réel appartenant à l’intervalle [a b] tel que F ( ) 1

2 F (b ).

Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e 0,3t 1 e 0,3t 1 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v 1 .

DEVOIR A LA MAISON N°13. TS1.

Pour le jeudi 30 mars 2017 SUJET 1 Pour préparer le bac.

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e 0,3t 1 e 0,3t 1 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v 1 .

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m .s −1 ), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 ( t) 32,7 ( 1 e 0,3t ) .

1. Quelle est la vitesse, exprimée en m .s −1 , atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s −1 .

2. Résoudre l’équation v 2 ( t) 30m.s −1 . Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.

3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

d(T )  

0

T v 2 (t)dt .

a. Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 20], d (T ) 109 ( 0,3T e 0,3T 1 . )

b. Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.

4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.

SUJET 2 Pour aller vers le supérieur.

I. ( ) u n est définie par u 0 0 et, pour tout n de , u n 1 u n 2 et ( ) v n est définie par v n e u

ln(2) Déterminer lim

n



k 0 n

v k .

II. Soit G la fonction définie sur l’intervalle [1; 3] par : G (x)

 

1

x 1

2 cos(t) dt Etudier les variations de G sur [1; 3]

III. Soit f une fonction continue et strictement positive sur un intervalle [ a b]. Soit F la fonction définie sur l’intervalle [ a b] par : F( x)  

a

x f( t)dt.

Montrer qu’il existe un unique+ nombre réel appartenant à l’intervalle [a b ] tel que F( ) 1

2 F(b ).

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°12. TS1

SUJET 1 Pour préparer le bac.

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e 0,3t 1 e 0,3t 1 1. v 1 est dérivable sur +. Pour tout réel t 0 ; on a : v 1 (t ) 5 [ 0,3e 0,3t ( e 0,3t 1 ) ( e 0,3t 1 0,3e ) 0,3t ]

( e 0,3t 1 ) 2

3 e 0,3t

( e 0,3t 1 ) 2 0. v 1 est donc croissante sur [0 [.

2. v 1 ( t) 6  e 0 , 3t 1

e 0 , 3 t 1 6

5  e 0,3t 1 1,2 ( e 0,3t 1 car ) ( e 0,3t 1 ) 0

 0,2 e 0,3t 2,2  e 0,3t 11

Pour tout réel t 0, e 0,3t 0 11, donc pour tout réel t 0, v 1 (t ) 6.

Le colis ne risque donc pas d être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m .s −1 ), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 ( t) 32,7 ( 1 e 0,3t ) .

1. v 2 (10) 31,1. Au bout de 10 secondes, la vitesse du colis est environ 31,1 m .s −1 .

2. v 2 ( t) 30  ( 1 e 0,3t ) 30

32,7  e 0,3t 2,7

32,7  0,3 t ln

 

  2,7

32,7  t ln

 

  32,7

2,7 0,3 .

v 2 (t ) 30m .s −1 a pour unique solution ln  

  32,7

2,7

0,3 8,3.

Le colis atteint une vitesse de 30 m .s 1 au bout d environ 8,3 secondes.

3.

On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

d(T )  

0

T v 2 (t)dt .

a. Pour tout réel T de l’intervalle [0 20] : d( T)

 

  32,7  

  t 1

0,3 e 0,3t

0 T

32,7  

  T e 0,3T

Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e ^0,3t 1 e ^0,3t 1 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v 1 .

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m .s ⁻¹ ), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 ( t) 32,7 ( ¹ ^e ^0,3t ) ^.

1. Quelle est la vitesse, exprimée en m .s ⁻¹ , atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s ⁻¹ .

2. Résoudre l’équation v 2 ( t) 30m.s ⁻¹ . Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.

a. Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 20], d (T ) 109 ( ^0,3T ^e ^0,3T ^{1 .} )

I. ( ) ^u n est définie par u ₀ 0 et, pour tout n de , u _n ₁ u _n 2 et ( ) ^v n est définie par v _n e ^u

^ln(2) Déterminer lim

v _k .

Soit v 1 la fonction définie sur [0 ∞[ par : v 1 (t) 5 e ^0,3t 1 e ^0,3t 1 1. v ₁ est dérivable sur +. Pour tout réel t 0 ; on a : v 1 (t ) 5 [ ^0,3e ^0,3t ( ^e ^0,3t ¹ ) ( ^e ^0,3t ^{1 0,3e} ) ^0,3t ]

( ^e ^0,3t ¹ ) ²

3 e ^0,3t

( ^e ^0,3t ¹ ) ² ^{0. v} ¹ est donc croissante sur [0 [.

2. v 1 ( t) 6  e ^{0 , 3t} 1

e ^{0 , 3} ^t 1 6

5  e ^0,3t 1 1,2 ( ^e ^0,3t ^{1 car} ) ( ^e ^0,3t ¹ ) ⁰

 0,2 e ^0,3t 2,2  e ^0,3t 11

Pour tout réel t 0, e ^0,3t 0 11, donc pour tout réel t 0, v ₁ (t ) 6.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m .s ⁻¹ ), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 ( t) 32,7 ( ¹ ^e ^0,3t ) ^.

1. v 2 (10) 31,1. Au bout de 10 secondes, la vitesse du colis est environ 31,1 m .s ⁻¹ .

2. v ₂ ( t) 30  ( ¹ ^e ^0,3t ) ³⁰

32,7  e ^0,3t 2,7

v 2 (t ) 30m .s ⁻¹ a pour unique solution ln  

Le colis atteint une vitesse de 30 m .s ¹ au bout d environ 8,3 secondes.

  t ¹

0,3 e ^0,3t

  T ^e ^0,3T

0,3 109 ( ^0,3T ^e ^0,3T ¹ )

La fonction d est dérivable sur +. Pour tout réel t 0, d (t ) 32,7 ( ¹ ^e ^0,3t ) ^.

1 e ^0,3t 0  e ^0,3t 1  0,3 t 0  t 0 donc d ( t) 0 sur ]0 [.

I. ( ) ^u n est définie par u 0 0 et, pour tout n de , u n 1 u _n−2 et ( ) ^v n est définie par v n e ^u

^ln(2) Déterminer lim

( ) ^u ⁿ est une suite arithmétique de raison 2 et de 1er terme 0 donc, pour tout n de , u n 2 n.

Alors, pour tout n de , v n e ^2nln(2) 1 e ^2nln(2)

1 e ^ln ⁽ ²

⁾

1 2 ²ⁿ

1 4 ⁿ  

1 ¹ 4